ABC.173.F - Intervals on Tree

ABC.173.F - Intervals on Tree

传送门

题意：给定$n$个结点$n-1$条边的树，求结点的所有子集$(区间[l,r])$的连通块的和。

思路：考虑最开始为$n$个孤立点的所有子集的连通块的和，再减去每条边对于连通块的贡献。

显然每个点就是一个连通块。

考虑包含$1$的子集(区间): $l\le 1,r\ge 1$，$l$有1种选择，$r$有$n-1+1$种选择。

即$1\times (n-1+1)=n$种选择。

包含$2$子集(区间)：$l\le 2,r\ge 2$，$l$有$2$种选择，$r$有$n-2+1$种选择。

即$2\times (n-2+1)=2\times (n-1)$

依次类推：

可得总连通块数：

$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^{n}i\times (n-i+1) \\ =(n+1)\times \sum _{i=1}^{n}i-\sum _{i=1}^n{i}^2 \\ =(n+1)\times \frac{n(n+1)}{2}-\frac{n(n+1)(n+2)}{6} \\ =\frac{n(n+1)(3n+3-(n+2))}{6} \\ =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{gathered}$$

显然对于边$(u,v)$，(假设$u<v$，因为区间$l\le r$），显然包含边$(u,v)$的子集(区间)。

$l\le u,r\ge v$，一共$u\times (n-v+1)$个子集，每个子集因为$u,v$的相连会把$u,v$两个连通块减为$1$个。所以答案要减去$u\times (n-v+1)$。

所以一边读入一般减去贡献即可。

时间复杂度：$O(n)$

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+5,M=1e6+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
#define mst(a) memset(a,0,sizeof a)
#define lx x<<1
#define rx x<<1|1
#define reg register
#define PII pair
#define fi first 
#define se second
int main(){
	int n;
	scanf("%d",&n);
	ll ans=1LL*n*(n+1)*(n+2)/6;
	for(int i=1;i<n;i++){
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		if(u>v) swap(u,v);
		ans-=1LL*u*(n-v+1); 
	}
	printf("%lld\n",ans); 
	return 0;
}