离散数学
内容大纲
╭1> 命题与命题公式
|2> 命题逻辑的推理理论
|3> 谓词逻辑
|4> 集合
|5> 关系与函数
离散数学 <
|6> 代数系统的一般概念
|7> 格与布尔代数
|8> 图
╰9> 图的应用
第一章:命题与命题公式
╭1.命题与命题连接词:
|
| ╭*推理:
| | 由一个或几个已知的 前提,推导出一个未知结论的思维过程称为 推理;
| | 推理的基本要素就是表达这些前提的一些陈述句,也就是所表达的命题↓;
| |
| |1.命题的概念:
| | 具有 唯一 真值的 陈述句(疑问句,感叹句,祈使句都不是命题)
| | *1.陈述句:是陈述一个事实或说话人的看法的句型。分为肯定句和否定句
| | *2.唯一真值:一个命题是可以判断真伪的,不是真就是假,
| | 1)当命题正确时,也可以说:真值为真,或者真值为T(True),真值为1;
| | 2)当命题不正确时,也可以说:真值为假,或者真值为F(False),真值为0;
|1>命题 与 <
| 命题的表示 |2.命题的符号化
| | 用符号表示命题(通常用大写英文字母)
| | 示例1: 示例2.判断下列句子是否是命题
| | P:1是最小的正整数; A.中华人民共和国的首都是北京(是命题,为真命题)
| | Q:我明天放假; B.雪是黑色的(是命题,是假命题)(有未知数(x),就不是命题)
| | 当命题为真时,记做:P为T,或者P为1; C.张三是学生(是命题,汉字代表张三存在,可验证)
| ╰ 当命题为假时,记做:P为F,或者P为0: D.江南太美了(不是命题,因为不是陈述句)
|
| ╭1.原子命题(简单命题)---不能分解的命题;
| |2.复合命题---由原子命题通过 联结词 联结而成的命题;
| | 示例:
| | 因为1是最小的正整数,所以比1小的数都不是正整数;
| | 原子命题1: 原子命题2: 联结词:
| | 1是最小的正整数 比1小的数都不是正整数 因为...所以...
| |
| |3.常用的联结词
| | ╭P的否定记作: ¬P(读作:非P) 例:P:我喜欢你,¬P:我不喜欢你
| | 1)否定 < 若P为1,¬P为0;若P为0,¬P为1;
| | ╰¬(¬P)<=>P; 双重否定为肯定
| |
| | ╭P与Q的合取记作: P∧Q(读作:p且Q) 例:P:今天是星期一,并且 Q:今天下雨了;
| | 2)合取 < 当P,Q同时为1时,P∧Q=1(P=1,Q=1),其余情况均为0;
| | ╰P∧¬P<=>F; P∧T<=>P;
| |
| | ╭P与Q的析取记作: P∨Q(读作:P或Q) 例:中午要么吃米饭要么吃馒头;
| | 3)析取 < 当P,Q同时为0时,P∨Q=0(P=0,Q=0),其余情况均为1;
| | ╰P∨¬P<=>T; P∨T<=>T; 德摩根律:¬(P∧Q)<=>¬P∨¬Q; ¬(P∨Q)<=>¬P∧¬Q (*****)
|2>复合命题 <
| 与联结词 | ╭P与Q的条件命题记作: P→Q(读作: 若P则Q)
| | |例:如果明天下雨,就睡懒觉<=>(不下雨)∨(睡懒觉);
| | |P→Q <=> ¬P∨Q ;
| | |当P为1,Q为0时,P→Q=0 (p=1,Q=0),其余情况均为1;
| | 4)条件 <
| | |只要P,就Q (P→Q)
| | |因为P,所以Q (P→Q)
| | |只有P,才Q (Q→P) 例:只有下雨,我才打车; P:下雨 Q:打车, 下雨我也可以不打车,
| | ╰除非P,否则Q (¬Q→P <=> ¬P→Q) (只要¬Q,就P) (只有P,才¬Q) p→Q <=> ¬Q→¬P
| |
| | 5)双条件:P与Q的双条件命题记作: P<->Q(读作: P当且仅当Q)
| | 当P与Q的真值相同时,P<->Q的真值为T,否则P<->Q的真值为F;
| | P(F)且Q(F) 或 P(T)且Q(T)--> P<->Q=T 其他的 P<->Q=F
| |
| |4.条件的证明 5.下列语句为假命题的是 (D)
| | 证明:¬P→¬Q<=>P∨¬Q A.如果3是偶数,那么1/3就是有理数;
| | ¬P→¬Q=>¬(¬P)∨(¬Q)=>P∨¬Q P→Q<=>¬P∨Q=1
| | B.只要3是偶数,1/3就是有理数;
| | 证明:¬P→Q<=>¬Q→P P→Q<=>¬P∨Q=1
| | ¬P→Q = P∨Q = Q∨P = ¬Q→P C.除非1/3是有理数,否则3不是偶数
| | ¬P→Q <=>P∨Q P:1/3是有理数=1, Q:3不是偶数=1
| | 证明:¬(P→Q)<=>P∧¬Q D.只有3是偶数,1/3才是有理数
| | ¬(P→Q) = ¬(¬P∨Q) = P∧¬Q Q→P<=>¬Q∨P=0; P:3是偶数=0,¬Q:1/3不是有理数=0
| |
| | 出题类型: p:原子命题1 q:原子命题2 要符号化的目标命题 联结词P联结词Q;
| | **条件命题符号化表示做题思路**:
| | *1.先看目标命题,并将命题结合题目中给出的原子命题进行转化;
| | *2.将转化好的符号命题,与题目中的选项做对比;
| | *3.如果结果不在所给的答案中,就找所得结果的等价命题;
| |
| | 示例1:设p:他怕困难; q:他获得成功; 命题:"除非他不怕困难,否则他不会获得成功"
| | 可符号化表示:除非 P 否则 Q---> 除非¬p,否则¬q==>只要¬(¬q)就¬(¬p)==>q→p
| |
| | 示例2:设p:他怕困难; q:他获得成功; 命题:"只要他怕困难,他就不会获得成功"
| | 可符号化表示;只要p就¬q 所以命题符号化为:p→¬q <=> q→¬p;
| |
| | 示例3:设p:天下雨; q:我走路上班.命题:"只有不下雨,我才走路上班",
| | 可符号化表示: 只有¬p,才q-->q->¬p
| |
| | 示例4:设p:我在家, Q:天下雨, 命题"只要天下雨,我就在家"
| ╰ 可符号化表示: 只要Q 就P--->Q->P
|
|2.命题公式的等值验算
|
| ╭1.定义:
| | 将命题用联结词和圆括号,按逻辑关系联结起来的符号串,也称合式公式;
| | 例如:P, Q, ¬P, P→Q, P∨Q, P∧Q
| |
| |2.子公式:
| | 设A是一个命题公式,B是A的一部分,且B也是一个命题公式,则称B是A的子公式;
| | (P∧Q)→R
| |
| |3.命题常项:
| | 若P代表一个具体的命题,P的真值是确定的,所以称为"常"项,相当与数学表达式中的常数;
| |
| |4.命题变元:
| | 符号P表示一个任意的命题,P的真值可以是0,也可以是1;
| |
| |5.命题公式的指派:
| | 设A为命题公式:用命题常项替换公式中的命题变元称作"指派",
| | 对A中所有的命题变元指定一个真值:含有n个命题变元的命题公式,有2^n组指派
| | 1) 真指派: 使A的值为1的指派;
| | 2) 假指派: 使A的值为0的指派;
| |
| | 示例:P→Q <=> ¬P∨Q,对命题公式P→Q的指派如下:
| | P=0, Q=0 真指派 1
| | P=0, Q=1 真指派 1
| | P=1, Q=0 假指派 0
| | P=1, Q=1 真指派 1
| | P→Q有3个真指派,1个假指派, 假指派为 10-→表示P=1,Q=0 是假指派
< 1>命题公式<
| |6.构造真值表
| | *1.第一行:按从简到繁的顺序写出所有子公式,最后一列是命题公式本身;
| | *2.一共有2^(变元的个数)组指派;如3个变元就是 2^3=8个指派
| | *3.为每一个命题变元指派,按 二进制加法 的顺序,从000开始到111结束;
| | *4.开始算每一个子公式的真值,进而得出命题公式的真值;
| |
| | 示例:构造真值表: (P∧Q)→R
| | 变元1 变元2 变元3 命题公式1 命题公式2
| | +-------+-------+-------+-------+----------+
| | | P | Q | R | P∧Q | (P∧Q)→R | ¬(P∧Q) ∨ R
| | +-------+-------+-------+-------+----------+
| | | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| | +-------+-------+-------+-------+----------+
| | | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| | +-------+-------+-------+-------+----------+
| | | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| | +-------+-------+-------+-------+----------+
| | | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| | +-------+-------+-------+-------+----------+
| | | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| | +-------+-------+-------+-------+----------+
| | | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| | +-------+-------+-------+-------+----------+
| | | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| | +-------+-------+-------+-------+----------+
| | | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| | +-------+-------+-------+-------+----------+
| | ╰------按二进制排序------╯
| |
| ╰ 命题公式(P∧Q)→R的真指派有7个,假指派有1个,假指派是110
|
| ╭*研究两个公式是否等值有两种方法,一是基于真值表,二是基于常用命题定律;
| |
| |1.使用真值表进行等值验算:
| | 示例:构造真值表: P→Q<=> ¬P∨Q
| | 变元1 变元2 命题公式1 命题公式2 命题公式3
| | +-------+-------+-------+-------+----------+
| | | P | Q | ¬P | P→Q | ¬P∨Q |
| | +-------+-------+-------+-------+----------+
| | | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| | +-------+-------+-------+-------+----------+
| | | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| | +-------+-------+-------+-------+----------+
| | | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| | +-------+-------+-------+-------+----------+
| | | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| | +-------+-------+-------+-------+----------+
| |
| | 给定两个命题公式A,B,若对任何一组指派,A和B的真值都相同,
| | 称A和B是等值或等价的,记做A<=>B;
| |
| 2>等值验算<
| 与蕴涵式
| |
| | ╭等值验算:
| | |(¬P∨¬Q)→P<=>P;//去箭头P→Q<=>¬P∨Q ↓
| | |<=>¬(¬P∨¬Q)∨P;//德摩根律 ↓
| | |<=>(P∧Q)∨P;//吸收律 ↓
| | |<=>P;
| |2.常用的命题定律<
| | (等值验算) |1.双重否定律: A<=> ¬¬A
| | |2.幂等律: A<=>A∨A, A<=>A∧A
| | |3.结合律:(A∨B) ∨C<=>A∨(B∨C) (A∧B) ∧C<=>A∧(B∧C)
| | |4.吸收律:A∨(A∧B)<=>A(有重复) A∧(A∨B)<=>A (括号里外符号相反)
| | |5.分配律:A∨(B∧C)<=>(A∨B)∧(A∨C) A∧(B∨C)<=>(A∧B)∨(A∧C)
| | |6.德摩根律:¬(A∨B)<=> ¬A∧¬B ¬(A∧B)<=> ¬A∨¬B
| | |7.交换律: A∧B<=>B∧A, A∨B=B∨A,
| | |8.同一律: A∨F<=>A A∧T<=>A 9.零律:A∨T<=>T A∧F<=>F
| | |10.排中律:A∨¬A=T 11.否定律: A∧¬A=F;
| | |12.蕴涵等值式: A→B <=> ¬A∨B;
| | |13.等价等值式: A↔B<=>(A→B)∧(B→A) 14.等价否定等值式: A↔B <=> ¬A↔¬B
| | |15.假言易位: A→B <=> ¬B→¬A // A→B =>¬A∨B=>B∨¬A=> ¬B→¬A;
| | |16.归谬论: (A→B)∧(A→¬B) <=> ¬A =>(¬A∨B)∧(¬A∨¬B)
| | ╰ =>(¬A∧¬A∨¬B)∨(B∧¬B∨¬A) =>¬A∨¬B => ¬A
| |
| |
| | ╭1.设A为命题公式,若在各种指派情况下,其取值均为T,则称A为重言式,或永真式;P∨¬P/T<=>T
| | |2.设A为命题公式,若在各种指派情况下,其取值均为F,则称A为矛盾式,或永假式;P∧¬P/F<=>F
| | |例:下列为永真式的为:
| | |(P→Q)∨Q=>(¬P∨Q)∨Q=>¬P∨(Q∨Q)=>¬P∨Q;是可满足式不是永真式;
| | |(P∨Q)→P=>¬(P∨Q)∨P=>(¬P∧¬Q)∨P=>(¬P∨P)∧(¬Q∨P)=>T∧(¬Q∨P)=>¬Q∨P
| | |(P→Q)∨P=>(¬P∨Q)∨P=>(¬P∨P)∨Q=>T∨Q=>T;是永真式
| | |P∨(¬P∧Q)=>(P∨¬P)∧(P∨Q)=>P∨Q;是可满足式不是永真式;
| |3.蕴涵式<
| | |3.当P→Q是一个重言式时,称P蕴涵Q, 记做P=>Q; P包含了Q
| | |证明:A∧(A→B)=>B //等价于↓
| | |<=>(A∧(A→B))->B<=> T //去箭头↓
| | |<=>¬(A∧(¬A∨B))∨B<=>(¬A∨¬(¬A∨B))∨B
| | |<=>(¬A∨(A∧¬B))∨B<=>((¬A∨A)∧(¬A∨¬B))∨B
| ╰ ╰<=>(¬A∨¬B)∨B<=>¬A∨(¬B∨B)<=>¬A∨T <=> T ;//证明完成
|
| ╭1.P与Q的与非式:P↑Q<=>¬(P∧Q),符号↑是与非联结词;
╰3>联结词完备集<
╰2.P与Q的或非式:P↓Q<=>¬(P∨Q),符号↓是或非联结词;
第二章:命题逻辑的推理理论
╭1.简单析取式: 由 命题变元 及其 否定 组成的析取式(¬和∨)
| P∨¬Q∨R∨Q∨R∨¬P∨R P∨¬P <=> T
| 结论:一个简单析取式是 重言式,当且仅当它同时含某个命题变元及它的否定式;
|
|2.简单合取式: 由 命题变元 及其 否定 组成的合取式(¬和∧)
| P∧¬Q∧R∧¬P∧R∧Q∧R P∧¬P <=> F
| 结论:一个简单合取式是 矛盾式,当且仅当它同时含某个命题变元及它的否定式;
╭*1.范式的概念<
| |3.合取范式:
| | 可以写成以下形式,其中A,B,C...都是简单析取式
| | A∧B∧C∧...----简单析取式的合取是 合取范式
| |
| |4.析取范式:
| | 可以写成以下形式,其中A,B,C...都是简单合取式
| ╰ A∨B∨C∨...----简单合取式的析取是 析取范式
╭1.范式 <
| | ╭1)n个命题变元的简单合取式,称作小项,其中每个命题变元 与它的否定 不能同时存在,
| | | 但每个命题变元必须出现且仅出现一次;n个命题变元的小项有2^n个;
| | | 例:P和Q的小项有4个:P∧Q;¬P∧Q;P∧¬Q;¬P∧¬Q;//简单合取式
| | | 大多数情况小项的真值为0;(因为是合取,∧左右都为1,真值才为1,否则就真值为0)
| | ╭小项<
| | | |2)小项的编码:
| | | | mi,其中i是使得 小项等于1 的一组指派的二进制表示
| | | | i是使各变元命题为1的表示(P(i=1),¬Q(i=0)),编码就是使小项各变元的真值为1;
| | | ╰ 例:小项P∧¬Q∧R的编码是m101 , P与Q的小项编码为m01,公式为:¬P∧Q;
| ╰*2.大项与小项<
| | ╭1)n个命题变元的简单析取式,称作大项,其中每个命题变元 与它的否定 不能同时存在,
| | | 但每个命题变元必须出现且仅出现一次;n个命题变元的大项有2^n个;
| | | 例:P和Q的大项有4个:P∨Q;¬P∨Q;P∨¬Q;¬P∨¬Q;//简单析取式
| | | 大多数情况大项的真值为1;(因为是析取,∨左右都为0,真值才为0,否则就真值为1)
| ╰大项<
| |2)大项的编码:
| | Mi,其中i是使得 大项等于0 的一组指派的二进制表示
| | i是使各变元命题为0的表示(P(i=0),¬Q(i=1)),编码就是使大项各变元的真值为0;
| ╰ 例:大项¬P∨Q的编码是M10,大项P,Q的与R的编码为M110,大项公式:¬P∨¬Q∨R
|
| ╭1.概念:
| | 对于给定的命题公式,如果有一个等价公式,它仅由 小项的析取 所组成,
| | 则该等价式称为原式的 主析取范式; 小项--一连串的∧(且(合取))
| | *1.若A<=>B,B=mi∨mj∨...,则B是A的主析取范式;例:(P∧Q)∨(¬P∧R)
| | *2.在命题公式的真值表中,所有真值为T的指派所对应的小项的析取,
| | 即构成该公式的主析取范式;(所有命题公式小项编码的析取) (i使小项变元真值为1)
| | 小项是n个简单合取式(且∧) P的小项编码mi(m0->p(0)->¬P,m1->P(1)->P)
| ╭*1.主析取范式<
| | |2.使用 真值表 来获取命题的主析取范式 (小项的析取,小项:真值为1)
| | | 例:用真值表发求(P→Q)∧(Q→R)的主析取范式: 真值为1
| | | +-------+-------+-------+-------+---------+---------------+
| | | | P | Q | R | P→Q | Q→R | (P→Q)∧(Q→R) |
| | | +-------+-------+-------+-------+---------+---------------+
| | | | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 主析取范式
| | | +-------+-------+-------+-------+---------+---------------+
| | | | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 主析取范式
| | | +-------+-------+-------+-------+---------+---------------+
| | | | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| | | +-------+-------+-------+-------+---------+---------------+
| | | | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 主析取范式
| | | +-------+-------+-------+-------+---------+---------------+
| | | | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| | | +-------+-------+-------+-------+---------+---------------+
| | | | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| | | +-------+-------+-------+-------+---------+---------------+
| | | | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| | | +-------+-------+-------+-------+---------+---------------+
| | | | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 主析取范式
| | | +-------+-------+-------+-------+---------+---------------+
| | | 真值为T的小项:m000:¬P∧¬Q∧¬R; m001:¬P∧¬Q∧R; m011:¬P∧Q∧R; m111:P∧Q∧R
| | | 主析取范式为:(¬P∧¬Q∧¬R)∨(¬P∧¬Q∧R)∨(¬P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)
| | |
| | |3.用等值演算法求主析取范式:
| | | 1)如果有→;用P→Q <=> ¬P∨Q 消去→;
| | |
| | | 2)如果有¬出现在括号前面;用德摩根律:¬(A∨B)<=>¬A∧¬B
| | | 或 ¬(A∧B)<=>¬A∨¬B 使得"¬"出现在变元的前面;
| | |
| | | 3)若得到的结果不是析取形式;用分配律:A∧(B∨C) <=> (A∧B)∨(A∧C)
| | | 保证在主析取范式中不出现 A∧(B∨C); ( 主析取范式-->(小项1)∨(小项2) )
| | |
| | | 4)第(3)步结束后,可得简单析取式,若简单析取式A中缺少变元P,通过如下变换增加变元P
| | | A<=>A∧(P∨¬P)<=>(A∧P)∨(A∧¬P)(使用分配律),去掉重复小项即得到主析取范式;
| | |
| | |示例:(P→Q)∧(Q→R)
| | | <=>(¬P∨Q)∧(¬Q∨R)
| | | <=>[(¬P∨Q)∧¬Q] ∨ [(¬P∨Q)∧R] //使用分配律 A∧(B∨C)<=>(A∧B)∨(A∧C)
| | | <=>[(¬P∧¬Q)∨(Q∧¬Q)] ∨ [(¬P∧R)∨(Q∧R)] // 同上也是使用分配律
| | | <=>(¬P∧¬Q)∨(Q∧¬Q)∨(¬P∧R)∨(Q∧R)
| | | <=>(¬P∧¬Q)∨(¬P∧R)∨(Q∧R) //使用A<=>A∧(P∨¬P);//(P∨¬P)<=>T T∧A<=>A ↓
| | | <=>[(¬P∧¬Q∧R)∨(¬P∧¬Q∧¬R)]∨[(¬P∧R∧Q)∨(¬P∧R∧¬Q)]∨[(Q∧R∧P)∨(Q∧R∧¬P)]
| | | <=>(¬P∧¬Q∧R)∨(¬P∧¬Q∧¬R)∨(¬P∧R∧Q)∨(Q∧R∧P);
| | ╰ * 保证小项中每一个简单合取式中的全部变元都有且出现一次;↑
| |
< 2.主范式 <
| |
| | ╭1.概念:
| | | 对于给定的命题公式,如果有一个等价公式,它仅由 大项的合取 所组成,
| | | 则该等价式称为原式的 主合取范式; 大项--一连串的∨(或(析取))
| | | *1.若A<=>B,B=Mi∧Mj∧...,则B是A的主合取范式;例:(P∨Q)∧(¬P∨R)
| | | *2.在命题公式的真值表中,所有真值为F的指派所对应的大项的合取,
| | | 即构成该公式的主析取范式,(所有命题公式大项编码的合取)(i使大项变元真值为0)
| | | 大项是n个简单析取式(或∨) P的大项编码Mi(M0->p(0)->P,M1->P(1)->¬P)
| |*2.主合取范式<
| | |2.使用 真值表 来获取命题的主合取范式 (大项的合取,大项:真值为0)
| | | 例:用真值表发求(P→Q)∧(Q→R)的主合取范式: 真值为0
| | | +-------+-------+-------+-------+---------+---------------+
| | | | P | Q | R | P→Q | Q→R | (P→Q)∧(Q→R) |
| | | +-------+-------+-------+-------+---------+---------------+
| | | | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| | | +-------+-------+-------+-------+---------+---------------+
| | | | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| | | +-------+-------+-------+-------+---------+---------------+
| | | | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 主合取范式
| | | +-------+-------+-------+-------+---------+---------------+
| | | | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| | | +-------+-------+-------+-------+---------+---------------+
| | | | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 主合取范式
| | | +-------+-------+-------+-------+---------+---------------+
| | | | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 主合取范式
| | | +-------+-------+-------+-------+---------+---------------+
| | | | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 主合取范式
| | | +-------+-------+-------+-------+---------+---------------+
| | | | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| | | +-------+-------+-------+-------+---------+---------------+
| | | 真值为F的大项:M010:P∨¬Q∨R; M100:¬P∨Q∨R; M101:¬P∨Q∨¬R; M110:¬P∨¬Q∨R;
| | | 主合取范式为:(P∨¬Q∨R)∧(¬P∨Q∨R)∧(¬P∨Q∨¬R)∧(¬P∨¬Q∨R)
| | |
| | |3.用等值演算法求主合取范式:
| | | 1)如果有→;用P→Q <=> ¬P∨Q 消去→;
| | |
| | | 2)如果有¬出现在括号前面;用德摩根律:¬(A∨B)<=>¬A∧¬B
| | | 或 ¬(A∧B)<=>¬A∨¬B 使得"¬"出现在变元的前面;
| | |
| | | 3)若得到的结果不是合取形式;用分配律:A∨(B∧C) <=> (A∨B)∧(A∨C)
| | | 保证在主合取范式中不出现 A∨(B∧C); ( 主合取范式-->(大项1)∧(大项2) )
| | |
| | | 4)第(3)步结束后,可得简单合取式,若简单合取式A中缺少变元P,
| | | 使用A<=>A∨(P∧¬P);//(P∧¬P)<=>F F∨A<=>A <=> (A∨P)∧(A∨¬P)//大项合取
| | |
| | | 示例:(P→Q)∧(Q→R) 的主合取取范式：
| | | <=>(¬P∨Q)∧(¬Q∨R)
| | | <=>(¬P∨Q∨R)∧(¬P∨Q∨¬R)∧(¬Q∨R∨P)∧(¬Q∨R∨¬P)
| | | <=>(¬P∨Q∨R)∧(¬P∨Q∨¬R)∧(P∨¬Q∨R)∧(¬P∨¬Q∨R)
| | |
| | ╰ *保证大项中每一个简单析取式中的全部变元都有且出现一次;
| |
| | ╭1.若命题公式A含有n个命题变元,且A的主析取范式中含有k个小项,
| | | 则A的主合取范式中含有 2^n-K 个大项; (主析取范式的小项+主合取范式的大项=2^n)
| | |
| | |2.若A可化为含2^n个小项的主析取范式,则A为重言式(一共就2^n项,即所有命题项全为T);
| ╰主范式结论 <
| |3.若A可化为含2^n个大项的主合取范式,则A为矛盾式(一共就2^n项,即所有命题项全为F);
| |
| ╰4.若A的主析取范式中至少有一个小项,则A为可满足式(只要不是矛盾式就是可满足式);
|
| ╭1>常用推理公式如下:
| | *1.A→B<=>¬B→¬A //证明: A→B <=> ¬A∨B <=> B∨¬A <=> ¬B→¬A
| | *2.A;A→B => B //A为真,且A→B为真,则B为真;
| | *3.A→B;A→C => A→C; //A→B和A→C都为真,则A→C为真
| |
| |2>常用的推理规则:
| | *1.前提引用 规则: 在证明的任何步骤上,都可以 引入前提,简称 P规则; //前提引用
| | *2.结论引用 规则: 在证明的任何步骤上,所证明的结论可作为后续证明的前提, 称为T规则;[1]
| | *3.转换规则: 在证明的任何步骤上,等值的命题公式可以相互置换,也称为T规则,如用P→Q置换¬P∨Q;[2]
| | [1]:将结论置换成前提引用; [2]:等价置换
╰3.自然推理系统 <
|
|示例:构造下列推理证明:
|如果他训练刻苦,他必赢的比赛;如果他赢的比赛,他得到总理接见;总理没有接见他,所以他训练不刻苦;
|解题思路:
|命题P:他训练刻苦;命题Q:他赢得比赛;命题R:他得到总理接见;
|前提:P→Q;Q→R;¬R; 结论:¬P;证明:P→Q;Q→R=>P→R=>¬R→¬P , ¬R;¬R→¬P =>¬P (草稿)
| P→Q;Q→R=> P→R //符号化--原理--> 证明:(规范化答案)
| <=>¬P∨R //去箭头 (1)P→Q P规则 (4) ¬R→¬P T(3)
| <=>R∨¬P //交换律 (2)Q→R P规则 (5) ¬R P规则
╰ <=>¬R→¬P //还原箭头 (3)P→R T(1) T(2) (6) ¬P T(4) T(5)
第三章 谓词逻辑
╭1.主语(个体词):
| "x大于3",其中x是句子的主语,这是一个变量,称为个体词
|
| *1.个体词 是指所研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体.
| 即可以是特定的个体,称为个体常项,用a,b,c表示;
| 也可以表示为一个泛指的个体,称为个体变量,用x,y,z表示;
|
| *2.个体变量的取值范围为个体域,或称论域
╭*1.谓词的概念<
| |2.谓词:
| | "x大于3",其中大于3是谓语部分,它表示主语的某一个性质,称为谓词
| |
| | *1.谓词用来指明个体的性质或个体之间的关系等,常用大写字母P,Q,R来表示,表示
| | 具体性质或关系的谓词称为谓词常量,表示抽象或泛指的性关的谓词称为谓词变量;
| |
| | *2.示例:
| | 老王是大学生-> "是大学生"是谓词;
| ╰ 用a表示"老王",用P表示"是大学生",则"老王是大学生" 表示为P(a)
╭1.概念与表示 <
| | ╭谓词变项(命题函数)
| | |由一个谓词,一些个体变量组成的表达式称为谓词变项或命题函数 P(x);
| | |例1:x大于3: 用P表示"大于3",则"x大于3"的命题函数
| | | 表示为P(x):其中,P表示 性质, x表示 变量 (个体词);
| | |
| | |例2.P(x):x是坏人; a:老王; -> p(a):老王是坏人
| | |
| | |例3.P(x): x的学历是本科; Q(x):x的哥哥; a老王
| | | P[Q(a)]: 老王的哥哥的学历是本科;
| ╰*2.谓词的表示<
| |例.(x,y): x大于y ->(5,4)∧(4,3)→(5,3):因为5大于4,并且4大于3,所以5大于3;
| |
| |例4.设a:小华,p(x):x是教授,f(x):x的父亲,则"小华的父亲是教授"的符号化:P[f(a)]
| |
| |例5.用谓词表达下列命题: 小张年满18周岁,身体健康,所以他可以参军;
| | 设a:小张; P(x):x年满18周岁; Q(x):x身体健康;R(x):x可以参军;
| ╰ 可符号化为:P(a)∧Q(a)→R(a);
|
| ╭1>量词:
| | 1>在命题函数中,当其中出现的所有变量均被赋值后,得到的命题的真值也确定下来,但有些
| | 命题函数中,使得命题为真或为假的变量值并不是唯一的,即取不同的值时,得到的命题真值
| | 是相同的,如:x大于3-->命题函数:P(x),x的值不唯一,如4,5,6...;如何表示x数量关系↓
| |
| | 2>命题函数中表示数量的词称为量词,可以使用量词来表示 个体常量 与 变项之间 的数量关系,
| | 即对命题函数进行量化,换言之就是,有多少个体词能使得命题函数成立;
| |
| |2>量词的分类---全称量词∀xP(x) 和 存在量词∃xP(x)
| |
| |*1.∀xP(x)表示P(x)的全称量化,即命题"对x在其论域中的所有取值,P(x)为真命题"
| | ∀称为全称量词 (∀x:x取其论域中的任意值), 论域:x的取值范围 {1,3,5} x有3个取值 1,3,5;
| |例1:论域为{4,5},P(x):x大于3-->∀xP(x):任意一个x,P(x)都是真命题; ∀xP(x)<=>P(4)∧P(5)
| |
| |例2:所有人都需要呼吸的符号化表示: P(x):x是人; Q(x):x需要呼吸;
| | ∀x(P(x)→Q(x)) :表示任何一个x的(P(x)→Q(x))都是真命题; //∀x(A(x)→B(x))
| |
| |*2.∃xP(x)表示P(x)的存在量化,即命题"论域中至少存在一个x,使P(x)为真"
| | ∃称为存在量词(∃x:论域中至少存在一个x)
| |
| |例1:论域为{2,4}, P(x):x大于3-->∃xP(x):存在一个x使得P(x)是真命题;∃xP(x)<=>P(2)∨P(4)
| |
| |例2:有些人可以活到100岁--> P(x):x是人; Q(x):x可以活到100岁;
| | ∃x((P(x)∧(Q(x)) :表示存在一个x的((P(x)∧(Q(x))真命题; //∃x(A(x)∧B(x))
| |
| |
| |*3.综合练习:
| | 1>使用量词表示一下命题: 2>使用量词表示命题: 没有最大的整数;
| | 1)所有狮子都是凶猛的动物; 只要一个数是整数,就存在另一个整数比它更大;
| | 2)有些狮子不吃肉; 设R(x): x是整数; L(x,y):x小于y;
| | 3)有些凶猛的动物不吃肉; ∀x(R(x)→∃xL(x,y))
|2.谓词与合式公式< P(x):x是狮子;
| | Q(x):x是凶猛的动物; 3>使用量词表示命题:每个整数的平方都大于0:
| | R(x):x吃肉; 设R(x): x是整数 ; L(x): x平方大于0
| | 1) ∀x(P(x)→Q(x)); ∀x(R(x)→L(x));
| | 2) ∃x(P(x)∧¬R(x)); 设R(x):x是整数; p(x):x的平方; L(x):x大于0;
| | 3) ∃x(Q(x)∧¬R(x)); ∀x(R(x)→L(P(x)));
| |
| |*4.谓词合式公式:用¬,∧,∨,→,↔把谓词函数联结起来;
| | 例:∀x(P(x)→Q(x)) 或者 ∃x(P(x)∧Q(x));
| |
| |*5.在∀xP(x) ∃xP(x)中,称 量词∀,∃后面的x为 指导变元,称P(x)为相应量词的辖域,在辖域中,x
| | 的一切出现为约束出现,也叫约束变元,除约束出现的其他变元的出现称为自由出现,也叫自由变元;
| | 例:∀x(P(x,y)→R(x,z))中,x:指导变元,(P(x,y)→R(x,z))是辖域,x:约束变元,y,z:自由变元;
| |
| |*6.在谓词公式中,一个变元即可以是约束变元,又可以是自由变元,很容易引起混淆,为了避免混淆,
| | 采用下面两个规则改写谓词公式:
| |
| | 1>自由变量代入规则: 把公式中的某一个自由变元,用该公式中没有出现的个体变元符号替换,
| | 且要替换该自由变元在公式中的所有出现处;
| | 例: ∀y(P(x)∧Q(x,y))→∀x(R(x,y)) 的约束变元为 x,y,自由变元为x,y;
| | 改写为:∀y(P(z)∧Q(z,y))→∀x(R(x,w))
| |
| | 2>约束变元改名规则: 将辖域内的 指导变元 及其辖域中所有 约束出现,均改为本辖域中未曾
| | 出现过的个体变元,其余不变;
| | 例: ∀y(P(x)∧Q(x,y))→∀x(R(x,y))
| | 改写为: ∀z(P(x)∧Q(x,z))→∀w(R(w,y))
| |
| |*7.前束范式:一个谓词合式公式,如果量词 均在全式的 开头,辖域延伸到整个公式
| ╰ 的末尾,则称前束范式 示例:∀y(P(x)→Q(y))//只在开头有量词限制
|
| ╭*1.解释:在谓词公式中包含命题变元(关于主语的命题)和个体变元(主语),当个体变元
| | 用确定的个体取代,命题变元用确定的命题所取代时,就称作对谓词公式赋值,或解释;
| |
| |*2.赋值方法:论域为{2,3} ∀xP(x)<=>P(2)∧P(3); ∃xP(x)<=>P(2)∨P(3);
| | ∀x(任意x命题为真)-->将论域内所有x的值代入命题,并将命题列出来,然后合取(∧)计算结果;
| | ∃x(存在x命题为真)-->将论域内所有x的值代入命题,并将命题列出来,然后析取(∨)计算结果;
| |
| | 例:给定解释如下:论域D={2,3},F(x)的定义如下:F(2)=0,F(3)=1;
< | G(x)的定义如下: G(2)=1,G(3)=0,求∀x(F(x)→G(x)的真值;
| | 解: ∀x(F(x)→G(x)<=> (F(2)->G(2))∧(F(3)->F(3))<=>(0->1)∧(1->0)
| | <=>(0∨0)∧(1∨1) <=> (0 ∧ 1) <=> 0;
| |
| | 例:论域是{2,3} ∃x∀yP(x,y) <=> ∀yP(2,y) ∨ ∀yP(3,y)
| | <=> (P(2,2)∧P(2,3))∨((P(3,2)∧P(3,3))
| |
| | 例:得定解释如下: 论域D={2,3}
| | P(x,y)的定义如下: P(2,2)=P(3,3)=0; P(2,3)=P(3,2)=1;
| | Q(x,y)的定义如下: Q(2,2)=Q(3,3)=Q(2,3)=0; Q(3,2)=1;
| | 求∃x∃y(P(x,y)) ∧ Q(x,y))的真值;
| | 解(P(2,2)∧Q(2,2))∨(P(3,3)∧Q(3,3))∨(P(2,3)∧Q(2,3))∨(P(3,2)∧Q(3,2))
| | =0∨0∨0∨1
| | =1 ;
| |
| | 例(真) 设解释I如下:D={2,3}, 已知F(2,2)=F(3,3)=0, F(2,3)=F(3,2)=1,f(2,2)=f(2,3)=2,
| | f(3,2)=f(3,3)=3. 求谓词公式(∀x)(∀y)(F(x,y)→F(f(x,y),x))在I下的真值 (代数)
| | (∀x)(∀y)(F(x,y)→F(f(x,y),x))
| | <=>(F(2,2)→F(f(2,2),2)) ∧ (F(3,3)→ F(f(3,3),3))
| | ∧ (F(2,3)→F(f(2,3),2))∧(F(3,2)→F(f(3,2),3))
| | <=>(0→F(2,2))∧(0→F(3,3))∧(1→F(2,2))∧(1→F(3,3))
| | <=>(1∨0)∧(1∨0)∧(0∨0)∧(0∨0)<=> 1∧1∧0∧0=0; // p→q <=> ¬p∨q;
|3.谓词演算的 <
| 等价式和蕴涵式
| |*3.谓词的等值公式
| | 给定两个谓词公式A,B,若对A和B的任何一个赋值,所得命题的真值相同,
| | 则称谓词公式A,B等价,记作 A<=>B;
| |
| | *常用的谓词等值公式: ¬∃xP(x) <=> ∀x¬P(x) (不存在 <=> 任何一个都不)
| | P(x):x是一个长命百岁的人;
| | ¬∃xP(x): 不存在长命百岁的人; <=> ∀x¬P(x): 任何一个人都不能长命百岁;
| | ¬∀xP(x) <=> ∃x¬P(x) (并不是所有都是 <=> 存在一个不是)
| | ¬∀x(并不是所有) ∃x¬ (存在一个不是) ∀ 对应 → ∃ 对应 ∨
| | ∀x(A(x)∧B(x))<=>∀xA(x)∧∀xB(x)
| | ∃x(A(x)∧B(x))<=>∃xA(x)∧∃xB(x) //存在且,存在或,任意且,任意或可以直接去括号;
| |
| | 例: 等值演算:∀x(A(x)→B) <=> ∃xA(x)→B
| | ∀x(¬A(x)∨B) <=> ∀x¬A(x) ∨ B ∀xB <=> B //没有x所以对B无影响,可消掉
| | <=> ∀x¬A(x)<=>¬∃xA(x)
| | ∃xA(x)→B <=> ¬∃xA(x) ∨ B (任何一个都不)<=> (不存在)
| |
| | 例: 证明下列谓词公式为永真式∀y(∀xA(x)->A(y))
| | //如果括号外量词的指导变元不能指导括号里的某些项,
| | //在实行分配律的时这些无关项可以不带括号外的量词;
| | <=> ∀y(¬∀xA(x)∨A(y)) //去箭头
| | <=>¬∀xA(x)∨∀yA(y) //分配律
| | <=>¬∀xA(x)∨∀xA(x) //∀yA(y) <=>∀xA(x) (因为x与y的论域相同,故可以替换)
| | <=> 1; //永真式
| |
| | 例: 证明下列谓词公式为永真式 ∀y(A(y)->∃xA(x)) //x,y 论域相同
| | <=> ∀y(¬A(y)∨∃xA(x)) //→后的项不变,只有→号前面的变(会变为相反命题)
| | <=> ∀y¬A(y) ∨ ∃xA(x)
| ╰ <=> ¬∃xA(x) ∨ ∃xA(x) <=> 1 ;//永真式
|
| ╭1.常用的推理公式:
| | 1> A→B <=> ¬B→¬A ; 2> A→B, B→C => A→C ; 3> A, A→B =>B ;
| |
| | *证明1 A→B <=> ¬B→¬A //¬A∨B <=> B∨¬A <=> ¬B→¬A
| |
| | *证明2 A→B, B→C => A→C //(A→B)∧(B→C) => (¬A∨B)∧(¬B∨C) =>(¬A∨B∧¬B)
| | ∨(B∧¬B∨C) =>¬A∨C => A→C //B∧¬B为0析取时忽略,故真值取决于A→C的值;
| |
| | *证明3 A, A→B =>B => A∧(A→B) => A∧(¬A∨B) => A∧B => B //A为真,真值取决于B;
| |
| |2.消去和添加量词的规则
| | 1>存在量词消去规则,记为∃-
| | ∃xP(x)为真,则在论域中存在一个个体c,使得P(c)为真;
| | ∃xP(x) => P(c) ;
| |
| | 2>全称量词的消去规则,记为∀-
| | 若∀xP(x)为真,且c是论域的任意一个个体,则P(c)为真;
| | ∀xP(x) => P(c);
| |
| | 3>存在量词引入规则,记为∃+
| | 如果已知论域中某个个体c使得P(c)为真,则∃xP(x)为真;
| | P(c) => ∀xP(x);
| |
╰4.谓词演算推理理论 <
|
|3.利用以上规则进行谓词演算推理:
| 例:符号化下列命题,并构造推理证明,一个人只有努力,才能获得成功; 每个人
| 或者获得成功,或者曾经失败过;有些人未曾失败过,所以有些人很努力;
| P(x) : x努力 ; Q(x) : x获得成功; R(x) x曾经失败过
| 前提1: ∀x (Q(x)→P(x)) //只有努力,才能获得成功 只有..才 q->P
| 前提2: ∀x (Q(x)∨R(x)) //每个人或者获得成功,或者曾经失败
| 前提3: ∃x¬R(x) //有些人未曾失败过
| 结论: ∃xP(x)//有些人很努力
|
| 证明过程:
| 草稿:∃x¬R(x) =>¬R(c) //从存在x证明到存在x ,c就是x论域内存在的特值
| ∀x (Q(x)→P(x)) => Q(c)→P(c)
| ∀x (Q(x)∨R(x)) => Q(c)∨R(c) => ¬Q(c)→R(c) => ¬R(c)→Q(c) //见证明1
| ¬R(c)→Q(c) , Q(c)→P(c) => ¬R(c) → P(c) //见证明2
| ¬R(c) , ¬R(c) → P(c) =>P(c) =>∃xP(x)
|
| 书写答案:
| (1) ∃x¬R(x) P规则
| (2) ¬R(c) ∃-(1)
| (3) ∀x (Q(x)→P(x)) P规则
| (4) Q(c)→P(c) ∀-(3)
| (5) ∀x (Q(x)∨R(x)) P规则
| (6) Q(c)∨R(c) ∀-(5)
| (7) ¬Q(c)→R(c) T(6)
| (8) ¬R(c)→Q(c) T(7)
| (9) ¬R(c) → P(c) T(8)(4)
| (10)P(c) T(2)(9)
╰ (11)∃xP(x) ∃+(10)
第四章 集合
╭1.若元素a是集合A中的元素,则称a属于A,记为a∈A,否则a∉A 例:1∈{1,2} 4∉{1,2} ;
|2.集合的相等:设A和B是任意两个集合,A=B,当且仅当它们含有 相同的元素.
╭1.集合概念 <
| |3.集合A包含的元素个数称为集合的 基数, 记为 |A|,例A={1,2,3} 集合A的基数为3;
| ╰4.空集:不包含任何元素的集合为空集, 记为∅, |∅|=0;
|
| ╭1.列举法:
| | 将集合中的元素 一一列举出来, 并用大括号括起全部元素,元素之间以逗号分隔;
| | 示例: 设S={1,2,3,5,7} B={x∈S且是奇数},则B={1,3,5,7}
| |
| |2.描述法:使用谓词来刻画集合元素的性质,将集合记为S={x|P(x)},
| | S={x|P(x)}表示如果P(b)为真时,b是集合S中的元素; 例如:集合S={x|x是偶数}
╭*1.基本概念 < |
| | |3.图示法:
| | | 用封闭的曲线表示集合及其关系,这种图称为文氏图(韦恩图) 例:S=A∩B 两圆相交;
| | |
| | |*各表示法的使用场景:
| | | 描述法或列举法: 关注集合中元素的具体值时:
| | | 图示法: 仅关注集合间的关系时;
| ╰*2.集合的表示法<
| |
| |4.子集:设A、B是任意两个集合，若A的每一个元素都属于B，则称A是B的子集，
| | 或者A 包含于 B，记作：A⊆B 例:A{1,2} B{1,2,3,4}
| | 任何集合都是自身的子集；空集是任何集合的子集 A⊆A ∅⊆A
| | A⊆B <=> ∀x(x∈A→x∈B) 任意两集合A,B 有 A=B <=>A与B互为子集;
| |
| |5.真子集:如果A的每一个元素都属于B，但B中至少有一个元素不属于A，
| | 则称A为B的真子集，记作：A⊂B
| |
| |6.全集:设所有集合都是集合E的子集，称E为全集; //全集相当于论域
| |
| |7.幂集:设A是任意集合,以A的所有子集为元素,组成的集合,称为集合A的幂集,记做P(A)
| | 示例: A={1,2},求P(A);
| | A的子集有∅ ,{1}, {2},{1,2}
| | ℘(A)-->P(A)={∅ ,{1}, {2},{1,2}}; //℘ 脚本字体的P, 书面试卷可以写这个
| ╰ 若集合A有n个元素,则A的幂集P(A)有 2^n个元素
|
| ╭*1.交，A∩B:由集合A和B的共同元素组成的集合，称为A和B的交集， A∩B={x|(x∈A)∧(x∈B)}
| |
| |*2.并，A∪B:由属于A或者属于B的元素组成的集合，称为A和B的并集， A∪B={x|(x∈A)∨(x∈B)}
| |
| |*3.差，A-B:由属于A但不属于B的元素组成的集合，称为A和B的差集， A-B={x|(x ∈A)∧(x∉B)}
< *2.集合的运算 <
| |*4.补，~A:由不属于A的元素组成的集合，称为A补集， ~A=E-A={x|(x∈E)∧(x∉A)}
| |
| |*5.对称差,A⊕B:其元素要么属于A,要么属于B,但不能既属于A又属于B,
| | A⊕B=(A∪B)-(A∩B);//将集合A与B的重叠部分删除 ,A⊕A= ∅ A⊕∅ = A
| ╰ 例:A={1,2,3}, B={3,4,5} A⊕B={1,2,4,5} 例2:A={1,2}, B={1,2,5} A⊕B={5}
|
| ╭1. A-B = A ∩ ~B =A-(A∩B)
| |2. 结合律:(A ∩ B) ∩ C=A ∩ (B ∩ C) ; (A ∪ B) ∪ C=A ∪ (B ∪ C)
| |3. 分配律:A∩(B∪C)= (A∩B)∪(A ∩ C) ; A ∪(B ∩ C)=(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
| |4.德摩根律: ~(A∪B)= ~A ∩ ~B ~(A ∩ B)=~A ∪ ~B
|*3.集合运算恒等式<
| |例:A,B,C是集合,证明(A-B)-C=A-(B∪C)
| | (A-B)-C=> A ∩ ~B ∩ ~C
| ╰ => A ∩ ~(B∪C) =>A-(B∪C)
|
| ╭1.有序对:由两个元素x和y(允许x=y)按一定顺序排列成的二元组称为一个 有序对 或 序偶,
| | 记作,或(x,y); x是有序对的 第一元素,y是 第二元素;
| |
| | *之所以称为有序对,是因为有序对中的两个元素的次序一般是不能对换的,x≠y时,≠
| | *集合是无序的, {1,2}={2,1} ; 有序对是有顺序的,<1,2> ≠ <2,1>
| |
| |2.笛卡尔积:
| | 设A,B为集合,用A中元素x为第一元素,B中元素y为 第二元素 构成有序对,
| | 所有这样的有序对组成的集合称作A和B的 笛卡尔积 也称为 直积,记作 A * B
| | 笛卡尔积的符号化表示为 A * B={|x∈A∧y∈B}
╰*4.有序对与 <
笛卡尔积 笛卡尔积运算具有以下的性质:
| 1>对任意集合A, A*∅=∅,∅*A=∅;//笛卡尔积中的元素是有序对,顺序不能变↓;
| 2>笛卡尔积不满足交换律,即当A≠∅∧B≠∅∧A≠B时,A*B≠B*A;
| 3>笛卡尔积不满足结合律,即当A≠∅∧B≠∅∧C≠∅时,(A*B)*C≠A*(B*C)
|
| 例:A={1,2},B={3,4},A*B={<1,3>,<1,4>,<2,3>,<2,4> }
| *1.注意第一元素与第二元素已定位,顺序不能倒换; //|A| 集合A中元素的个数--基数
| *2.若集合A有m个元素,集合B有n个元素,则 A*B 有 m*n个有序对元素; |A*B|=|A|*|B|
|
| 例:设集合A={1,2,3},集合B={a,b,c,d,e},则|AxB|=3*5=15, |P(A)XB|=8*5=40;
|
╰ A*(B∪C)=(A*B)∪(A*C) 可以去括号但顺序不能变;
第五章 关系与函数
╭关系:给定任意集合A和B,若R⊆A*B,则称R为从A到B的二元关系,特别在A=B时,称R为A上的
| 二元关系,可见R是有序对的集合,若∈R,则也表示为xRy -> ∈R <=>xRy
| 关系就是表示集合X到集合Y的笛卡尔积的子集;
|
|1>关系集合:
| 1.若集合R是A*A的子集,则称R是集合A上的二元关系,简称 关系(有序对的集合)
| 例:A={1,2},A*A={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>},A*A的任何一个子集都是A上的关系;
| 如:R={<1,1>,<2,2>}是A上的关系;
|
| 2.若集合R是A*B的子集,则称R是从A到B的关系;
| 例:A={1,2},B={3,4}, A*B={<1,3>,<1,4>,<2,3>,<2,4>}
| R={<1,3>,<1,4>}是从A到B的关系;
|
| 3.称IA={|x∈A}为A上的 恒等关系
| 例:A={2,3},则A上的恒等关系为 IA={<2,2>,<3,3>}
|
| 4.称A*A为A上的全域关系 A={1,2},A*A={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}
|
| 5.设R是集合A上的关系,R中每一个有序对的第一元素构成的集合,称为R的定义域,
| 记为domR, R中每一个有序对的 第二元素 构成的集合,称为R的值域,记为ranR;
| 例:R={<1,1>,<1,2>,<2,2>,<2,3>} domR={1,2} ranR={1,2,3}
|
| 例:设R={<3,1>,<2,3>,<5,3>,<3,4>}是集合A={1,2,3,4,5}上的关系,
| 则 domR={2,3,5} , ranR={1,3,4};
╭*1.定义及表示 <
| |2>关系矩阵:
| | 例:A={1,2},R={<1,1>,<2,2>}是A上的关系;
| | 设x1=1,x2=2,则A={x1,x2},R={,}
| | 可用关系矩阵表示集合A上的关系R:
| | ╭1 0╮
| | ╰0 1╯
| | 即:设集合A={x1,x2,x3,x4},若∈R,则R的 关系矩阵
| | 的第i行,第j列为1,其他位置为0;
| |
| | 真题.设R={<1,3>,<1,4>,<2,3>,<3,1>,<3,4>,<4,2>}
| | 是A={1,2,3,4}上的关系,请写出R的关系矩阵;
| | ╭0,0,1,1╮
| | │0,0,1,0│
| | │1,0,0,1│
| | ╰0,1,0,0╯
| |
| |3>关系图(有向图)
| | 设集合A={x1,x2,x3,x4},若∈R,则自xi到xj画一条有向边;
| | 设R={<1,4>，<2,1>，<2,3>，<3,1>，<4,2>，<4,3>}是A={1,2,3,4}上的关系，
| | 请画出R的关系图:
| |
| | 3
| | ↙ ↑ ↖
| | 1← ← ↑← ← 2
| | ↘ ↑ ↗
| ╰ 4
╭*1.关系 <
| | ╭前提:设R是集合A上的关系:
| | |关系R包含以下5种性质:自反性,反自反性,对称性,反对称性,传递性;
| | |
| | |1> 若∀a∈A,必有∈R,则称R是 自反的 换言之，A中每一个元素与其自身相关。
| | | 即R是A上的自反关系<=> ∀x(x∈A → ∈R) // 自己和自己有关系
| | | 例:A={1,2,3},R={<1,1>, <2,2>, <3,3>}
| | | 自反的关系矩阵:则关系矩阵的对角线(左上--右下)上的每个元素都为1;
| | | ╭1 0 0╮
| | | │0 1 0│
| | | ╰0 0 1╯
| | |
| | |2> 若∀a∈A,必有∉R,则称R是 反自反 的
| | | 例:A={1,2,3},R={<1,2>, <1,3>, <2,1>, <2,3>, <3,1>, <3,2>}
| | | 反自反的关系矩阵:则关系矩阵的对角线(左上--右下)上的每个元素都为0;
| | | ╭0 1 1╮
| | | │1 0 1│
| | | ╰1 1 0╯
| | |
| ╰*2.关系的性质<
| |3>若∈R,必有 ∈R,则称R是 对称 的 (关系矩阵 rij=rji,即为对称矩阵);
| | 例:A={1,2,3},R={<1,2>, <2,1>, <1,1>, <2,2>} //{ }
| | 对称的关系矩阵:则关系矩阵的对角线的两边的元素都是对称相等的;
| | ╭1 1 0╮ ╭* 1 0╮
| | │1 1 0│ │1 * 0│
| | ╰0 0 0╯ ╰0 0 *╯
| |
| |4>若∈R,必有∉R,则称R是 反对称 的;
| | 例:A={1,2,3},R={<1,2>,<1,3>}或 R={<1,2>,<2,3>,<3,1>}
| | 反对称的关系矩阵rij和rji不能同时为1,即关于对角线对称的元素不能同时为1;
| | ╭0 1 1╮ ╭0 1 0╮
| | │0 0 0│ │0 0 1│
| | ╰0 0 0╯ ╰1 0 0╯
| |
| |5>若∈R,∈R, 必有∈R,则称R是 传递 的 (传递后得到的元素还在R中);
| | 例1:A={1,2,3},R={<1,2>, <2,3>, <1,3>} //{, , }
| | 例2:A={1,2,3,4},R={<1,3>, <1,4>, <2,3>,<2,4>,<3,4>,<4,4>}
| | *例2中<1,3> <3,4> 传递后得出<1,4>在集合R中所以符合传递性
| |
| |*综合示例:
| | 设R={<1,4>,<2,1>,<2,3>,<3,1>,<4,2>,<4,3>},是A={1,2,3,4}上的关系,
| | 说明R是否具有自反,反自反,对称,反对称性质;
| | <1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>都∉R,所以R是反自反的,不是自反的;
| ╰ 任何一个∈R,∉R,所以R是反对称的,不是对称的;
|
| ╭1>设集合R是集合A上的关系,将R中每个有序对的元素顺序互换,可得到R的 逆关系,简称R的逆,记为R^-1
| | 例:R={<1,2>,<2,3>} , R^-1={<2,1>,<3,2>} //R={,} R^-1={,} ;
| |
| | 关系的常规运算:"交","并","逆"
| | 1.(R^-1)^-1=R, 2.(R∩S)^-1=(R^-1)∩(S^-1)
| | 3.(R∪S)^-1=(R^-1)∪(S^-1) 4.若R⊆S,则R^-1⊆S^-1
| |
| | 证明2,3推理如下: 证明4推理如下:
| | R={<1,2>,<3,4>},S={<3,4>,<5,6>} R={<1,2>},S={<1,2>,<3,4>}
| | =>R∩S={<3,4>} ,(R∩S)^-1={<4,3>} =>R^-1={<2,1>},S^-1={<2,1>,<4,3>}
| | R^-1={<2,1>,<4,3>},S^-1={<4,3>,<6,5>} =>R^-1⊆S^-1
| | =>R^-1∩S^-1={<4,3>}
| |
| |2>复合关系
| | *1.设集合R,S都是关系,RοS 为R和S的复合关系,表示 RοS={|∈R,∈S}
| | 例1:R={<1,2>},S={<2,1>,<2,3>} => RοS ={<1,1>,<1,3} //复合就是两不同集合间进行传递
| | 例2:R={<2,3>},S={<1,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>} => RοS ={<2,2>,<2,3>}
| | 例3:R={<1,2>,<2,3>},S={<2,3>,<3,4>} => RοS ={<1,3>,<2,4>}
| |
| | *2.RοR记为R²
| | 例R={<1,2>,<2,2>,<2,3>} =>R²={<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>}
| |
| | 综合题:设集合A={1,2,3,4},A上的关系R={<1,1>,<2,1>,<3,2>,<4,3>},求R²和R^-1;
| | R²={<1,1>,<2,1>,<3,1>,<4,2>} R^-1={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<3,4>};
| |
| | *若R与S是自反的,则RοS也是自反的:
| | 证明:设A={},R={,} ,S={,} => RοS={,}
< *2.关系的运算 <
| |
| |3>关系的闭包
| | 作用:关系的某些性质非常有用,例如自反性,对称性及传递性,但任给一个关系R,都不能保证R
| | 一定具有这些性质,如果在R中添加必要的二元组形成新的关系R',可使R'具有自反性,对称性
| | 及传递性,得到的新关系称为原关系的 闭包;
| |
| | 设R是非空集合A上的二元关系,若关系R'满足下列条件:
| | 1> R'是自反的(对称的或传递的)
| | 2> R⊆R';
| | 3> 对于A上的任何包含R的自反的(对称的或传递的) 关系R'',有R'⊆R'';
| | 称R'为R的自反(对称,传递)闭包,记做r(R) (s(R) 或 t(R) )
| |
| | 设R是A上的关系,在R的基础上进行 最小的扩充 即可得到R的 闭包:
| | r(R)是自反闭包, s(R)是对称闭包, t(R)是传递闭包; (扩展关系R)
| | reflexive(自反) symmetric(对称) transitive(传递)
| |
| | 例:A={1,2,3} R={<1,2>,<2,3>}
| | r(R)={<1,2>,<2,3>,<1,1>,<2,2>,<3,3>}
| | s(R)={<1,2>,<2,3>,<2,1>,<3,2>}
| | t(R)={<1,2>,<2,3>,<1,3>}
| |
| | 例:设集合A={a,b,c,d}以及A上的一个二元关系R={,},
| | 求对称闭包s(R),和传递闭包t(R);
| | s(R)={,,,}
| ╰ t(R)={,,} //闭包是对关系达成条件做最小的拓充
|
|
| ╭1>相容关系:设P是集合A上的关系,若P是自反的,对称的,则称 P是A上的 相容关系;
| |2>等价关系:设R是集合A上的关系,若R是自反的,对称的,传递的,则称R是A上的 等价关系;
| | *1.设R为等价关系,若∈R,称x等价于y,记作x~y;
| | *2.等价关系例如:
| | 1.三角形相似关系是等价关系;// 三角相等,三边成比例的两个三角形
| | 2.人类集合中的"同龄","同乡"关系,住校学生的"同寝室关系" 都为等价关系;
| | 3.对任意集合A,A上的恒等关系IA和全域关系EA是等价关系;
| |
| | *3.等价关系的证明:
| | Z是整数集,在Z上定义一个二元关系R:对于任意的x,y∈Z,
| | (x,y)∈R当且仅当x与y被5除余数相同.R是Z上的等价关系;
| | 显然,x与y被5除,余数相同的充要条件是5|(x-y),这里符号a|b表示a整除b,(b/a)
| | a与b是两个整数. x%5==y%5 <=> (x-y)%5=0, => x=13,y=8, x%5=3;y%5=3
| |
| | 对于∀x∈Z,有5|(x-x),即(x,x)∈R, 即R有自反性
| | 对于∀x,y∈Z,若(x,y)∈R,即5|(x-y)=>5|(y-x),所有(x,y)和(y,x)∈R,即R有对称性;
| | 对于∀x,y,z∈Z,若(x,y)∈R且(y,z)∈R 即5|(x-y)且5|(y-z) 则5|((x-y)+(y-z))
| | =>5|(x-z)=> (x,z)∈R,即 R有传递性; 故R是A上的等价关系;(R有自反性,传递性,和对称性;)
| |
| |例2:A={1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,3>,<3,1>} //是相容关系且是等价关系
| | R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<2,1>}//相容但不等价;因为没有<3,2>
| |
| |*结论:
| | 若R,S是集合A上的相容关系(等价关系),则 R∩S,R∪S,R^-1,S^-1(交并逆)
| | 一定也是相容关系(等价关系),但RοS(复合运算)不一定是相容关系(等价关系)
| | A={a,b,c}, R={,, ,,,}
| | *1.自反性:集合A中所有的元素与自己组成的有序对 属于关系R;
| | *2.对称性:集合A中不同的两个元素的组合以及这两个元素的逆序组合都属于关系R;
| | *3.传递性:集合A中 ,,都属于关系R;
| | *若R和S都是自反的,则 RoS也是自反的 (复合关系只能保持自反,其他关系不确定)
| |
| |综合题:
| | 设A={|a,b为正整数},在A上定义二元关系~如下:
| | ~当且仅当a+b=c+d,证明:~是一个等价关系;
| | 例题分析:
| | 叫做a和b有关系, ~ <=> < , >∈ ~ //(a,b)与(c,d)有关系↓
| | 在A上的二元关系~ :a,b,c,d∈Z,若a+b=c+d(~中组成元素内部关系)则< , >∈ ~
| | 即~={< , >| a+b=c+d 且 a,b,c,d为正整数}
| | 证:
| | 1>自反性: x+y=x+y => 即~;所以~具有自反性:
| |
| | 2>对称性: 若 < , >∈~ 则 < , >∈~即:若~则~
| | 因为~ => x+y=p+q ; p+q=x+y 所以~ ~具有对称性;
| |
| | 3>传递性:若~则~ 则 ~
| | x+y=p+q; p+q=s+r;=> x+y=s+r 所以~具有传递性
| | 由1>,2>,3>证明得出 ~是一个等价关系;
| |
| |3>集合A的划分:
| | *1.给定非空集合A,若有集合S={s₁,S₂,...Sm},其中Si⊆A,Si≠∅(1≤i≤m),且Si∩Sj=∅(i≠j),
| | m
| | 同时有∪ Si=A;(S₁∪S₂...∪Sm=A),称集合S是A的划分,每个Si(1∈R,则R是A上的等价关系;
| |
| | 例:A={1,2},则{{1},{2}}是集合A的一个划分, {{1,2}}也是集合A的一个划分;
| | 由划分{{1},{2}}可得等价关系 {<1,1>,<2,2>}
| | 由划分{{1,2}}可得等价关系 {<1,1>,<2,2>,<1,2>,<2,1>}
| | {{1,2},{3}}可得等价关系:{<1,1>,<2,2>,<1,2>,<2,1>,<3,3>}
| |
|*3.等价关系与序关系<
| |
| |4>序关系
| | 设R是非空集合A上的关系,若R满足自反的性,反对称的性,传递性,则称R是A上的一个
| | 偏序关系,记作 ≤; 集合A和集合A上的偏序关系≤一起称为偏序集,记为 ;
| |
| | 等价关系 a=b,b=c,a=c, b=a, a=a; 序关系 a覆盖:设偏序集,若a是一个偏序集,其中A={1,2,3,4,6,12},≼为A上的整除关系,(a≤b|a/b且余数为0;)
| | 列出A中所有元素的覆盖;并用哈斯图表示出来;
| | 覆盖关系:1<2,1<3, 2<4,2<6,3<6,4<12,6<12;
| | 1的覆盖为2,3; 1<2<4 所以 1≮4(4不是1的覆盖),同理1≮6 和 1≮12
| | 2的覆盖为4,6; 2<6<12 所以 2≮12(12不是2的覆盖,它和2之间隔着6,要覆盖也是覆盖6)
| | 3的覆盖为6; 3<6<12 同上; 12
| | 4的覆盖为12; / \
| | 6的覆盖为12; 哈斯图→ 4 6
| | \ / \
| | 2 3
| | \ /
| | 1
| |6>最大、最小元 和 极大、极小元
| | *1.最大元:若x比A中所有元素都大,称x是A的 最大元;
| | *2.最小元:若x比A中所有元素都小,称x是A的 最小元;
| | *3.若A中不存在比x更小的元素,称x是A的 极小元;
| | *4.若A中不存在比x更大的元素,称x是A的 极大元;不能再被整除了
| | 例:设A={1,2,3,4},≤是整除关系,则 1≤1,2≤2,3≤3,4≤4,1≤2,1≤3,1≤4,2≤4;
| | 因为1≤2,1≤3,1≤4,所以1是A的最小元;但4不能整除3 故集合A中没有最大元;
| | 能整除1的只有1,故1是极小元, 能被3整除的只有3,能被4整除的只有4,故 3,4是极大元;
| |
| |7>上界和下界
| | *1.上界:设B⊆A,a∈A,若a比B中所有元素都大,称a是B的上界;
| | *2.下界:设B⊆A,a∈A,若a比B中所有元素都小,称a是B的下界;
| | 例:设A={1,2,3,4},≤是整除关系;则1≤1,2≤2,3≤3,4≤4,1≤2,1≤3,1≤4,2≤4; B={1,2}
| | 4能被1整除,也能被2整除,1≤4且2≤4,即4比B中所有元素都大,故4是B的上界;
| ╰ 1能整除1,也能整除2, 1≤1,1≤2,即1比B中所有元素都小,故1是B的下界;
|
| ╭1>函数的概念
| | 设函数y=f(x)是一个X到Y的二元关系,x是函数定义域,Y是函数值域,记作f:X→Y
| | 函数满足以下条件:∀x∈X,存在唯一的y∈Y,使得y=f(x)
| |
| |2>入射函数:
| | 若x不等于y,必有f(x)≠f(y),则称函数f是入射函数,或单射函数
| | 例:f: P→Q, 其中P={1,2,3}, Q={1,2,3,4} , f(n)=n+1
| |
| |3>满射函数:
| | 若∀y∈Y,都∃x∈X使得,f(x)=y,则称函数f是满射函数;
| | 例: f: P→Q,其中P={1,2,3},Q={2,3,4},f(n)=n+1;
| |
╰*4.函数 <
|
|4>双设函数:
| 若函数既是单射的,又是满射的,则称f是双射函数;
|
|5>只有双射函数存在反函数(反函数:定义域是原函数的值域,值域是原函数的定义域);
|
|6>复合函数 fοg:
| 例:f(x)=2x+1; g(x)=x²
| (fog)(x)=2x²+1 相当于 f(g(x))
| (gof)(x)=(2x+1)² 相当于 g(f(x))
|
| *复合函数fog和gof的性质:
| 若f和g都是单射的,则fog,gof是单射的;
| 若f和g都是满射的,则fog,gof是满射的;
╰ 若f和g都是双射的,则fog,gof是双射的;
第六章 代数系统的一般概念
╭1>代数系统:
| 由集合A以及定义在集合A上的运算"*"(任意运算)组成的系统,称为一个代数系统,简称为代数,记为
| *是在集合A上的任意运算 f1,f2,f3,...,fk,可记为 ;
| 例:定义在整数集Z上的加法运算系统:,加法代数系统;
|
|2>代数系统的封闭性
| 在代数系统中,对于集合A及A上定义的运算*,如果集合A中任意两个元素在进行*运算后,
| 结果仍在集合A中,则称集合A对于运算*是封闭的;
| 1) 若∀a,b∈A且a*b∈A,则称运算 * 关于集合A是封闭的;
| 例如:定义在整数集Z上的加法运算系统:,加法代数系统; 整数+整数=整数;符合封闭性
| 定义在整数集Z上的除法运算系统:,除法代数系统; 整数÷整数不一定是整数,不符合封闭性
|
| 2) 若a*(b*c)=(a*b)*c,则称运算 * 是可结合的,满足结合律;
| 加法和乘法满足结合律,
| 除法 如 6÷3÷2=1, 6÷(3÷2)=4,不能满足结合律
| 减法,6-3-1=2,6-(3-1)=4 不能满足结合律
|
| 3) 若a*b=b*a,则称运算*是可交换的,满足交换律; 加和乘满足,除和减不满足;
╭*1.代数系统<
| |3>代数系统中的特殊元素:幺元 (单位元)
| | 在代数系统中
| | 1)若∀x∈A,都有e*x=x,则称e为左幺元; 2)若∀x∈A,都有x*e=x,则称e为右幺元;
| | 3)当左幺元和右幺元相等时,即e既是左幺元又是右幺元,则称e为幺元(或单位元)
| | 即∀x∈A,都有e*x=x*e=x ;例如中的1就是一个幺元;
| |
| |
| |4>代数系统中的特殊元素:零元
| | 在代数系统中,
| | 1)若∀x∈A,都有0*x=0;则称0为左零元;2)若∀x∈A,都有x*0=0;则称0为右零元;
| | 3)当左零元和右零元相等时,即0既是左零元,又是右零元,则称0是零元;
| | 即∀x∈A,都有x*0=0*x=0; 例如中的0就是一个零元;
| |
| |5>代数系统中的特殊元素: 逆元
| | 在代数系统中,
| | 1)若b(逆元)*a=e(幺元),则称b为a的左逆元;若 a*b=e,则称b为a的右逆元;
| | 3)当左逆元和右逆元相等时,即b既是左逆元又是右逆元,则称b是a的逆元;
| | 即 b*a=a*b=e,记为b=a^-1,即a^-1*a=a*a^-1=e;
| | (a^-1)^-1=a;(a*b)^-1=a^-1*b^-1
| |
| | *一个元素要么没有逆元,要么有唯一的逆元;
| | 例:在,a的逆元是-a; a+(-a)=0, 0是a的幺元: a+0=0+a=a
| | 在中,a的逆元是1/a;
| |
| | 例a={2,3,4,5},a*b=min(a,b),求代数系统的幺元与零元
| | 解题思路:*运算是min(a,b)也就是求最小值,幺元e符合e*x=x*e=x,
| | a={2,3,4,5}中的幺元是5,因为5是最大的,min(x,5)=min(5,x)=x;
| | 零元符合0*x=x*0=0(这里的0只是零元代号),因为min(2,x)=min(x,2)=2,故零元是2;
| ╰
|
| ╭1>半群
| | 设V=是代数系统,*是集合S上的二元运算,若运算*是封闭的
| | (∀a,b∈S,a*b∈S),可结合的(∀a,b,c∈S (a*b)*c=a*(b*c)),
| | 则称V为半群; 例如加法和乘法为半群;
| |
| |2>独异点:若半群中存在一个幺元(∀x∈S,x*e=e*x=x),则称为独异点;
| |
| |3>子半群
| | 设是一个半群,B⊆S,且*在B上封闭,那么也是一个半群,通常称
| | 是半群的子半群;//证明:因为*在S上可结合,而B⊆S,且*在B上是封闭的,是半群;
| |
| |3>群:
| | 设是一个独异点(是半群(运算封闭,符合结合律)且存在幺元),
| | 若集合G中每一个元素都有逆元(∀x∈G,x*b(逆元)=b*x=e(幺元)),则称为群;
| | 例:加法是独异点(∀a∈Z,a的幺元是0,封闭,结合),而且任何元素都有逆元(-a),
| | 所以加法是群, 但乘法不是群,乘法是独异点,但0没有逆元 1/0为 ∞ 故没有逆元
| |
< *2.群与半群<
| |证明是群:步骤:1>封闭, 2>可结合, 3>有幺元 4>任何元素都有逆元;
| |例:在整数集Z上定义一个二元运算*如下:a*b=a+b+1,证明:是群;
| | 证:
| | 1>封闭性:
| | ∀a,b∈Z,必有a*b=a+b+1∈Z,所以运算是封闭的;
| |
| | 2>可结合:
| | ∀a,b,c∈Z, a*(b*c)=a*(b+c+1)=a+(b+c+1)+1=a+b+c+2
| | (a*b)*c=(a+b+1)*c=a+b+1+c+1=a+b+c+2=a*(b*c) 即运算是可结合的
| |
| | 3>有幺元:
| | 假设存在幺元e,则a*e=e*a=a+e+1=a,可得e=-1
| | ∀a∈Z 必有(-1)*a=a*(-1)=a-1+1=a 所以-1是的幺元;
| |
| | 4>Z的任何元素存在逆元
| | 假设a的逆元a^-1存在,则a*a^(-1)=a+a^(-1)+1=-1(幺元),
| | 可得a+a^(-1)=-2 所以 a^(-1)(逆元)=-a-2;
| | ∀a∈Z,必有(-a-2)*a=a*(-a-2)=-a-2+a+1=-1(幺元) 所以-a-2是a的逆元;
| ╰ 综上所述,是一个群;
|
|
| ╭1>设是一个群,若运算满足交换律,即a*b=b*a,则称是交换群,或Abel群
| |2>环:
╰*3.环与域< 设是一个代数系统,+和*是二元运算,如果满足:
| 1> 是Abel群; 2> 是半群; 3> 运算*对于运算+是可分配的;
╰3>(群(环(整环(域)))
第七章 格
╭1>上界:设是一个偏序集,集合{a,b}是A的子集,若集合A中 f
| 存在一个元素x满足:a≤x且b≤x,则称x是集合{a,b}的上界; / \
| d e
|2>下界:若A中存在一个元素x满足:x≤a且x≤b,则称x是集合{a,b}的下界; | ╳ |
| b c
|例: 如哈斯图所示: {a,b}的上界:b,d,e,f,下界:a; a∨b=b, a∧b=a; \ /
| *偏序可自反,所以上界可以取到b,下界可以取到a;最小上界 最大下界 a
| {b,c}的上界:d,e,f 下界:a; 最大下界:b∧c=a,最小上界:d∨c不存在;
| {d,e}的上界:f, 下界:b,c,a;最大下界:d∧e不存在,最小上界:d∨e=f;
|
|3>最小上界和最大下界 f
|设是一个偏序集,集合{a,b}是A的子集,若集合{a,b}存在唯一 |
|的最小上界,记为 a∨b;若集合{a,b}存在唯一的最大下界,记为a∧b; e
╭*1.格的概念< / \
| |4>格: c d
| | 设是一个偏序集,若∀a,b∈A,{a,b}在A中都有最大下界 \ /
| | (也称为下确界,记为inf{a,b})和最小上界(也称为上确界,记 b
| | 为sup{a,b}),则称为 格;最小上界和最大下界有唯一性; |
| | {c,d} 上界:e f,最小上界:e 下界: a,b 最大下界:b a
| | *|╳|有这种图形就不是格;//格满足交换律,结合律,吸收律,幂等律;不一定满足分配律;
| |
| |5>交运算和并运算
| | 设是一个格,如果在A上定义两个二元运算∧和∨,使得对∀a,b∈A,a∧b等于
| | a和b的最大下界,a∨b等于a和b的最小上界;{a∧b,a,b,a∨b},称为由格
| ╰ 所诱导的代数系统,二元运算∧,∨分别称为交运算和并运算;
<
|
|
| ╭1>补元:
| |设是格,的最小元记为0,最大元记为1, 图1 图2
| |若a∨b=1,且a∧b=0;则称b是a的补元; 1 1
| |例:b的补元:b∧e=0;b∨e=1;所以e是b的补元 / \ / | \
| | b∧c=0,b∨c=1;所以c是b的补元 d e c d e
╰*2.有补格< | | \ | /
|格中找补元技巧: b c \ b /
|哈斯图中直接相连的两个元素肯定不是补元; \ / |
|若a和b是互补的元,则: 0 0
|*1.{a,b}有唯一的上界1(a和b向上延伸的唯一交点(上界)是1),
|*2.有唯一的下界0(a和b向下延伸的唯一交点(下界)是0);
|
|2>有补格:
╰ 设是格,若A中任何元素都存在补元,则称是有补格;如图1,图2;
第八章 图(Graph)
╭1.定义:一个图包含两个部分,顶点(结点) 和 边,用V表示顶点,用E表示边,G=(V,E)表示一个图;
| Graph=(Vertex,Edge)
|2.边可以有方向,也可以无方向;若一个图的所有边都没有方向,称为 无向图;反之都有方向,称为 有向图;
|
|3.一个顶点自身连接自身的边称为环,两个顶点之间有多条边为多重边;不含环和多重边的图,称为简单图;
|
| 简单图G1 有向图G2 无向图
| 0 1 1 ↻c d
| |\ | ↗↙ ↖↘ |______|
| | 2 | 2 3 a b
| |/__\| ↘↖ ↙↗ 4阶图
| 3 4 4
| 1,2两顶点有两条边,构成了多重边; 顶点c自己连接自己构成一个环;
|
|4.若一个图G的顶点总数为n,则称G为n阶图;//如6个顶点 为6阶图;
|
|5.设无向图G=,顶点V关联的边数,称为顶点的度数,记为deg(v),若deg(v)为奇数,称为奇顶点;
| 如G1 deg(3)=3,deg(0)=2,deg(2)=3,deg(4)=3,deg(1)=1 所有顶点的总度数=12; 有6条边
| 定理1.任何图所有顶点的 度数总和 等于 边数的2倍 ;所以图的顶点度数总和一定是偶数(2*边数)
| 定理2.奇顶点必有偶数个;
| 证:1>若deg(v)为奇顶点;则顶点(v)的关联度数为奇数个
| 2>图的顶点度数总和一定是偶数;//2*边数
| 综上所述:在图中的必然有偶数个奇顶点;//如果是奇数个,奇数个奇数相加=奇数,与2>矛盾;
╭*1.图的概念 <
| | 例1.简单无向图G有16条边,每个结点都是2度结点,求G的结点数;
| | 总度数=16*2=32; 32/2=16; 设有n个结点 2n=16*2,n=16;
| |
| | 例2.设简单无向图G有15条边,有3个4度结点,4个3度结点,其余结点均为2,求G中结点的个数;
| | 设结点的个数为n,则:3*4+4*3+(n-3-4)*2=15*2;
| | 2n-6-8=30-24 => 2n=20 => n=10; 所以 G中有10个结点;
| |
| | 例3.设无向图G有7个顶点,每个顶点的度数不是4就是5.证明:
| | G中至少有5个度数为4的顶点或至少有4个度数为5的顶点;
| | 证明:无向图G有7个顶点,每个顶点的度数不是4就是5,由于度数为5是
| | 奇顶点,由定理2可知,它在图G中的总数必定是偶数个,则有以下四种情况;
| | 1> 有7个度数为4的顶点;
| | 2>有2个度数为5的顶点,5个度数为4的顶点;
| | 3> 有4个度数为5的顶点,3个度数为4的顶点;
| | 4> 有6个度数为5的顶点,1个度数为4的顶点;
| | 综上所述:G中至少有5(5|7)个度数为4的顶点或至少有4(4|6)个度数为5的顶点
| |
| | 例4.设图G有n个结点,n+1条边,证明:且每个结点的度数都不超过3,
| | 证明:图G中至少有2个结点度数等于3的结点;
| | 证明: 反证法:
| | 1>假设图G中没有度数为3的结点,又因为每个结点度数不超过3,
| | 则图G中每个结点度数最大为2, 图G所有结点度数总和最大为2n,
| | 所以图G的边数最大为n,与已知G有n+1条边的条件矛盾,故假设不成立,
| |
| | 2>假设G中只有1个度数为3的结点,则G中必定有1个度数为1的结点,
| | 因为奇顶点必须是偶数个,则此时图G的结点总数为2(n-2)+1+3=2n
| | 则图G最多有n条边,与已知条件矛盾,故假设不成立.
| |
| | 综上所述,G中至少有2个度数等于3的结点; //反证法就是假设¬结论成立,推出结论与已知矛盾;
| |
| |6.有向图的入度和出度
| | 设图G=是一个有向图,则有:
| | 以顶点v为起点的有向边的个数称为v的 出度,以顶点v为终点的有向边的个数称为v的 入度;
| | 有向图G2
| | A → B 最大出度:2 最大入度:2
| | ↙¯¯¯¯¯¯¯¯↗| A:OD:2 ID:0 B:OD:1 ID:2
| | C--------→D ↓ C:OD:2 ID:1 D:OD:1 ID:2
| | ↘________↖↓ E:OD:0 ID:2 G:OD:2 ID:1
| | E← G
| |
| |7.完全图
| | 设n阶简单无向图G=,每个顶点都与其余的n-1个顶点连接,则称G为n阶完全图;
| | A 定理:n阶完全图中每个顶点度数都为n-1,图中共有n(n-1)/2条边;
| | / \ 3阶完全图K3, A,B,C三个顶点的度数都为n-1=2,共有 3(3-1)/2=6/2=3条边;
| ╰ B-—--—C 完全图k6的边的条数为6(6-1)/2=30/2=15 条边;
|
| ╭1.通路:若图G中的两个顶点v₁,V₂可以由几条边连起来,则称V₁、V₂是连通的, 从V₁
| | 到V₂的一条路称为通路,通路中的 边数 称为通路的 长度;a到c的长度为2(2条边)
| |2.回路: 如果一条通路的起点 和 终点 相同,称为回路; dbcd,
| | a d k____g
| | | ╱│ | ╱│
| | | ╱ │ | ╱ │
| | |╱ │ | ╱ │
| | b---c-----e----f
< *2.图的连通性 <
| |3.若图G中任意两个顶点之间都是连通的,称G为连通图;
| |
| |4.若图G不连通,则图G至少包含2个连通分支;
| | *.n阶的连通图至少有n-1条边,最多为n(n-1)/2条边(完全图)
| | 例:一个具有10个顶点的简单连通图的边数至少为9,至多为45;
| |
| |5.设G是一个简单连通图,若G有一个顶点的度数为a,则G至少有a+1个顶点
| | 每个度数都对应一个顶点+本身
| ╰
|
| ╭1.邻接矩阵
| | 设图G=,V={v1,v2,v3,v4},用mij表示从顶点vi到vj的边数,
| | 则可得到图G的 邻接矩阵M (有向图 和 无向图都有连接矩阵)
| | 图G 图G的邻接矩阵
| | ↻v1---<---v4 v1 v2 v3 v4 有向图:横向是该顶点的 出度
| | ↗↗ ↖ ↗↘ v1╭ 1 0 0 0 ╮ 纵向是该顶点的 入度
| | ↖↖ ↖ ↖↙ v2│ 2 0 1 0 │
| | v2--->---v3 V3│ 1 0 0 1 │ 无向图:横向和纵向都是该顶点
| | V4╰ 1 0 1 0 ╯ 与目标顶点是否有连接;
| |
| | 从vi到vj有n条边,则Mij=n; 例如 从v2到v1有2条边则 M21=2;//第二行第一列
| |
| |2.矩阵的乘法
| |
| | 矩阵的乘法运算:必须在第一个矩阵的列数(column)和第二个矩阵的行数(row)相同时才有意义;
| | 一个m×n的矩阵就是 m×n个 数排成 m行n列 的一个数阵;
| | ╭a1,1 a1,2 a1,3╮ ╭b1,1 b1,2 ╮
| | A= | │ B= |b2,1 b2,2 │
| | ╰a2,1 a2,2 a2,3╯ ╰b3,1 b3,2 ╯
| |
| | ╭a1,1b1,1+a1,2b2,1+a1,3b3,1, a1,1b1,2+a1,2b2,2+a1,3b3,2╮
| | C=AB= | │
| | ╰a2,1b1,2+a2,2b2,2+a2,3b3,2, a2,1b1,2+a2,2b2,2+a2,3b3,2╯
| |
| | ╭b1,1a1,1+b1,2a2,1 b1,1a1,2+b1,2a2,2 b1,1a1,3+b1,2a2,3 ╮
| | D=BA= |b2,1a1,1+b2,2a2,1 b2,1a1,2+b2,2a2,2 b2,1a1,3+b2,2a2,3 │
| | ╰b3,1a1,1+b3,2a2,1 b3,1a1,2+b3,2a2,2 b3,1a1,3+b3,2a2,3 ╯
╰*4.图的表示(矩阵) <
| 设矩阵A有m行n列(Amn),矩阵B有n行s列(Ans);
| 矩阵C=矩阵A×矩阵B= 按矩阵A行由上到下的顺序 从第1行开始按以下列方式进行乘法运算
| => A的第i行第j列的元素(Aij) × B的第j行第k列元素(Bjk) (1≤j≤n) (1≤k≤s)
| =A11×B11+A12×B21+...,+A1(n-1)×B(n-1)1+A1n×Bn1 , ==C11
| A11×B12+A12×B22+...,+A1(n-1)×B(n-1)2+A1n×Bn2 , ==C12
| ...
| A11×B1s+A12×B2s+...,+A1(n-1)×B(n-1)s+A1n×Bns , ==C1s
| 矩阵C的第一行={C11,C12,...,C1s},依次类推算i=2时 计算第二行的值,一直到第n行
|
| A11 A12 A13...A1n
| B11,B12...B1s *.使用"--"代表"×"方便观察
| B21,B22...B2s A11--B11,A12--B21,...A1n--Bn1, C11
| B31,B32...B3s A11--B12,A12--B22,...A1n--Bn2, C12
| ... ... ... ...
| Bn1,Bn2...Bns A11--B1s,A12--B2s,...A1n--Bns, C1s
|
| Amn × Bns =Cms==> m×n的矩阵 × n×s的矩阵=m×s的矩阵, m是A行数, s是B是列数
| 例:A23×B32=C22 C中有2*2=4个元素
|
|1>按矩阵乘法法则,AB结果是用A的每行各元素×B的每列各元素形成,一般而言,它不满足交换律,即AB与BA不同。
|
|2>满足交换的矩阵也是存在的,但还需附加条件(例如:B是一个单位阵时,A总可与B进行乘法交换值不变)
|
|3.矩阵的平方
| 矩阵的平方M²是一个新的矩阵,这个矩阵的mij等于矩阵M的第i行和第j列对应元素乘积之和;
| ╭1 1╮ ╭1 1╮ ╭1 1╮ ╭1*1+1*0 1*1+1*1╮ ╭ 1 2 ╮
| M= | | M²= | | ×| |= | |= | |
| ╰0 0╯ ╰0 1╯ ╰0 1╯ ╰0*1+1*0 0*1+1*1╯ ╰ 0 1 ╯
|
|4.求图中通路(回路)的数量
| 设图G=,V={v1,v2,...vn},图G的邻接矩阵为M,
| 则M^k的元素 mij 表示顶点 vi 到顶点 vj 长度为k的通路(或回路)的数量;
| 图G 图G的邻接矩阵
| ↻v1---<---v4 v1 v2 v3 v4
| ↗↗ ↖ ↗↘ v1╭ 1 0 0 0 ╮ v1╭ 1 0 0 0 ╮
| ↖↖ ↖ ↖↙ M= v2│ 2 0 1 0 │ v2│ 2 0 1 0 │
| v2--->---v3 V3│ 1 0 0 1 │ V3│ 1 0 0 1 │
| V4╰ 1 0 1 0 ╯ V4╰ 1 0 1 0 ╯
|
| ╭1 0,0,0╮ M²(邻接矩阵的平方)=> vi 到 vj 长度为2的通路有 mij 条
| M²= |3 0 0 1| v2到v1长度为2的通路有m21=3条, ,v2到v4长度为2的通路有m24=1条
| |2 0 1 0| v3到v1长度为2的通路有m31=2条, v4到v1长度为2的通路有m41=2条,
╰ ╰2 0 0 1╯ 长度为2的总数为 1+3+1+2+1+2+1=11条 其中回路有3条(m11,m33,m44);
第九章 图的应用
╭*1.可以一笔画出的图(欧拉通路):
| 1>连通图,所有顶点都是偶点(度数(关联边数)为偶数),从从任意一点都能一笔画出;(图1)
| 2>连通图,有 两个 奇点,从其中一个奇点开始,到另一个奇点结束可以一笔画出;(图2)
| 3>其他情况下,一笔不能画出图
|
|*2.欧拉路
| 在连通图G中,经过的 每条边 一次且仅一次的通路,称为欧拉通路;(1> ,2>)
|
|*3.欧拉图(无奇点)
| 若欧拉通路为回路(起点和终点相同),则称欧拉回路,有欧拉回路的图称为欧拉图;
╭1.欧拉图<
| |
| | Kn:n阶完全图 每个顶点的度数都为n-1m,所以若n为奇数,则kn是欧拉图;
| |
| | 图1 图2
| | (2) a-----b (2) (3) a----b (3) b->e->d->c->a->b->d->a
| | \ / | \ |\ a->c->d->e->b->d->a->b
| | c (4) | \ | \
| | / \ | \| \
| ╰ (2) d-----e (2) (2) c----d---e (2) (2)
╭*1.欧拉图与<
| 哈密顿图 ╭1.哈密顿路:
| | | 在连通图G中,经过G的 每个顶点 一次且仅一次的通路,称为哈密顿路,
| | |
| | |2.哈密顿图:
| | | 若哈密顿路为回路则称为 哈密顿回路,含有 哈密顿回路 的图称为 哈密顿图;
| ╰2.哈密顿图<
| |示例:今有a,b,c,d,e,f,g 7人,已知下列事实: a会讲德语; b会讲法语和德语;
| | c会将俄语和英语; d会讲日语和汉语;e会讲德语和汉语;f会讲法语,日语
| | 和俄语; g会讲英语和汉语;
| | 试问:这7人应如何排座为(按圆桌排),才能使每个人和他身边的人交谈?
| | b f c
| | a g
| ╰ e d
|
| ╭1.定义:若图G的边仅在顶点处相交,则称图G为平面图,
| |2.平面图的面:平面图G将整个平面划分为几个区域,每一个区域称为图G的一个面;
| |3.内部面与外部面:每一个平面图都有一个面积无限的面(外部面),和若干个面积有限的面(内部面)
| |4.设图G为连通平面图,n个顶点,m条边,r个面之间的关系为: 欧拉公式:n-m+r=2
< *2.平面图<
| | a e n(顶点数)-m(边数)=r(面数(内面+外面(1)))
| | |\ / \
| | | c d 顶点数:n=6 边数m=7 面数r: 6-7+r=2 => r=3;
| | |/ \ /
| ╰ b f r=内面(Pacb,Pecfd)+外面(1)=3;
|
| ╭1.树的基本概念
| | a *1.树的定义:连通(一点可达任意其他点),无回路 的无向图称为树;
| | / \
| | b c *2.树是连通的,但删去任何一条边后就不连通(每条边都是割边)
| | / \ | 割边:本身连通的图只删去一条边该图就不再连通,这样的边就叫割边;
| | d e f
| | / | \ *3.树无回路,但增加任何一条边,就会得到一个回路;
| | u v w
| |*4.树中度数为1的顶点称为叶结点或树叶,一棵树至少有2个树叶;
| |
| |*5.n个顶点的树有n-1条边;
| |
| |例:一棵树有2个3度结点,其余都是叶子结点,求叶子数
| | /**
| | * 假设树有n个顶点,则:
| | * n个顶点的树,有n-1条边;
| | * 无向图的度数的总和=边数的2倍; n个顶点的度数和=总边数*2
| | */
| | (2×3)+(n-2)×1=2(n-1);//总度数=总边数的2倍;
| | 6+n-2=2n-2 => n=6,所以树有6个顶点,则叶子结点的个数为6-2=4;
| |
| |2.连通图的生成树--将连通图转换为一棵树;
| | A A A
| | / / \ / \ / / \
| | B-/---C B C B / C
| | \/ | \ | / |
| | D----E D E D E
| |
| | 现有7条边,树的边为顶点数(5)-1=4条边; 所以要删除3条边;//将连通图的边数删减到满足树的边数;
╰*2.树<
|3.最小生成树
| A *1.给图G的每一条边加上一个权值 图G的所有生成树中,
| / / \ 权值之和最小的一棵称为G的最小生成树; A #1.添加所有顶点
| 7/ / 3 \5 \5 #2.添加权值为2的边(D,E)
| B-/-----C *2.Kruskal算法求n阶有权连通图的最小生成树: B------C #3.添加权值为3的边(B,C)
| 8\/ 8 |9 1>添加所有的顶点 8/ 3 #4.添加权值为5的边(A,C)
| D------E 2>添加权值最小的边 D-------E #5.添加权值为8的边(B,D)
| 2 3>按权值从小到大的顺序添加边,如果添加后 2
| 出现回路则不添加;判断下一小的权值边; 最小生成树的权值=18
| 4>添加n-1条边后即可得到图G的最小生成树
|
|4.给出无向有权图矩阵画出最优路线
| 例:某城市拟在六个城区之间架设有线电视网,其网点的距离如下列无向有权图矩阵
| 给出,试给出架设线路的最优方案,请画出图,并计算出最优方案下路线的长度;
| v1 v2 v3 v4 v5 v6 1 2 最小生成树:6个顶点需要5条边
| v1╭ 0 3 0 0 9 1 ╮ v1---v6---v3 v1
| v2│ 3 0 4 10 0 6 │生成连通图 3| 6╳9 |11 1/ \ 3
| v3│ 0 4 0 5 7 2 │========> v2 v5 v6---v3 v2 (v2,v3为4但构成回路)
| A= v4│ 0 10 5 0 8 0 │ 4| 7╳10|8 2 /5
| v5│ 9 0 7 8 0 11│ v3---v4 v4---v5
| v6╰ 1 6 2 0 11 0 ╯ 5 8
╰ 最小生成树的权值=1+2+3+5+8=18;最优线路长度为18;
