数据流中的中位数(剑指offer第41题)

题目：设计一个支持以下两种操作的数据结构：

• void addNum(int num) - 从数据流中添加一个整数到数据结构中。
• double findMedian() - 返回目前所有元素的中位数。

方法一：利用二分查找元素的插入位置，使所有元素升序排序。

利用lower_bound()，在first和last中的前闭后开区间进行二分查找，返回大于或等于val的第一个元素位置。

• 时间复杂度：O(n)。O(logn)+O(n)≈O(n)。
• 空间复杂度：O(n)。使用了数组保存输入。

class MedianFinder {
    vector store; // resize-able container
public:

    void addNum(int num)
    {
        if (store.empty())
            store.push_back(num);
        else
            store.insert(lower_bound(store.begin(), store.end(), num), num);   
    }

    double findMedian()
    {
        int n = store.size();
        return n & 1 ? store[n / 2] : (store[n / 2 - 1] + store[n / 2]) * 0.5;
    }
};

方法二：优先队列排序（大顶堆，小顶堆）

将中位数左边的数保存在大顶堆中，右边的数保存在小顶堆中。这样我们可以在O(1) 时间内得到中位数。

• 时间复杂度O(logn)。堆插入和删除需要O(logn)，查找中位数需要 O(1)。
• 空间复杂度：O(n)。

class MedianFinder {
    priority_queue lo;                              // 大顶堆
    priority_queue, greater> hi;   // 小顶堆

public:
    // Adds a number into the data structure.
    void addNum(int num)
    {
        lo.push(num);                                    // 加到大顶堆

        hi.push(lo.top());                               // 平衡
        lo.pop();

        if (lo.size() < hi.size()) {                     // 维护两个堆元素个数
            lo.push(hi.top());
            hi.pop();
        }
    }

    double findMedian()
    {
        return lo.size() > hi.size() ? (double) lo.top() : (lo.top() + hi.top()) * 0.5;
    }
};

补充priority_queue知识点：

优先队列分两种：

• 最大优先队列，无论入队顺序，当前最大的元素优先出队。
• 最小优先队列，无论入队顺序，当前最小的元素优先出队。

事实上，优先队列的本质上是一个堆，它是一棵完全二叉树，分为小顶堆和大顶堆：

小顶堆是每一个根节点小于左右子节点的完全二叉树，堆顶元素最小，对应最小优先队列；

大顶堆是每一个根节点大于左右子节点的完全二叉树，堆顶元素最大，对应最大优先队列

优先队列函数声明如下：

priority_queue< type, container, function >

type：数据类型；container：实现优先队列的底层容器；function：元素之间的比较方式。

在STL中，默认情况下（不加后面两个参数）是以vector为容器，以 operator< 为比较方式，所以在只使用第一个参数时，优先队列默认是一个最大堆，每次输出的堆顶元素是此时堆中的最大元素。

priority_queue,greater > small_heap; //构造小顶堆