凸优化基础

计算几何是研究什么的？

计算几何研究的对象是几何图形。早期人们对于图像的研究一般都是先建立坐标系，把图形转换成函数，然后用插值和逼近的数学方法，特别是用样条函数作为工具来分析图形，取得了可喜的成功。然而，这些方法过多地依赖于坐标系的选取，缺乏几何不变性，特别是用来解决某些大挠度曲线及曲线的奇异点等问题时，有一定的局限性。

计算几何理论中（或凸集中）过两点的一条直线的表达式，是如何描述的？与初中数学中那些直线方程有什么差异？有什么好处？

计算几何过两点的一条直线的表达式：
假设存在不同的两个点
:x1​!=x2​
那么就有直线方程：y=θx1​+(1−θ)x2
初中数学的直线方程只是单纯的在平面上建立直线方程式。
好处：额外有角度，更加立体吧。

凸集是什么？ 直线是凸集吗？是仿射集吗？

凸集：
在凸几何中，凸集(convex set)是在凸组合下闭合的仿射空间的子集。更具体地说，在欧氏空间中，凸集是对于集合内的每一对点，连接该对点的直线段上的每个点也在该集合内。例如，立方体是凸集，但是任何中空的或具有凹痕的例如月牙形都不是凸集
直线是凸集吗：
先解释直线的定义：
直线的表示，假设有一个n维空间，已知两点（，统一用向量形式表示），，则有参数，直线表示为。换成这样的形式更好懂一点：，还是比较通俗易懂得的吧，从x2点出发，沿（x2-x1）向量的方向移动长度即直线。
接着解释仿射集的定义：
仿射集（affine set）定义：仿射集包含了集合内点的所有仿射组合。若C是仿射集，，则也属于仿射集合C。

直线是凸集，也是仿射集

三维空间中的一个平面，如何表达？

三维空间中的平面由两个量确定：

① 一个法向量（垂直于该平面的向量）

② 一个已知点（位于该平面上的一个点）
假如有一个 平面方程：
Ax+By+Cz+D=0 (参数,A,B,C,D是描述平面空间特征的常数)

更高维度的“超平面”，如何表达？

超平面是n维欧氏空间中余维度等于一的线性子空间，也就是必须是(n-1)维度。
这是平面中的直线、空间中的平面之推广（n大于3才被称为“超”平面），是纯粹的数学概念，不是现实的物理概念。因为是子空间，所以超平面一定经过原点。
表达：
在数学中，超平面（Hyperplane）是n维欧氏空间中余维度等于1的线性子空间。这是平面中的直线、空间中的平面之推广。设F为域：
F=IR
则n维空间Fn中的超平面是由如下方程表示：
a1​x1​+…+an​xn​=b

什么是“凸函数”定义？什么是Hessen矩阵? 如何判别一个函数是凸函数？f(x)=x^3 函数是凸函数吗？

凸函数是指一类定义在实线性空间上的函数
黑塞矩阵（Hessian Matrix），又译作海森矩阵、海瑟矩阵、海塞矩阵等，是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵，描述了函数的局部曲率。黑塞矩阵最早于19世纪由德国数学家Ludwig Otto Hesse提出，并以其名字命名。黑塞矩阵常用于牛顿法解决优化问题，利用黑塞矩阵可判定多元函数的极值问题。在工程实际问题的优化设计中，所列的目标函数往往很复杂，为了使问题简化，常常将目标函数在某点邻域展开成泰勒多项式来逼近原函数，此时函数在某点泰勒展开式的矩阵形式中会涉及到黑塞矩阵。

如何判别一个函数是凸函数？

通过一元函数判断：
对于一元函数f(x)f(x)，我们可以通过其二阶导数f′′(x)f″(x) 的符号来判断。如果函数的二阶导数总是非负，即f′′(x)≥0f″(x)≥0 ，则f(x)f(x)是凸函数
通过多元函数判断：
对于多元函数f(X)f(X)，我们可以通过其Hessian矩阵（Hessian矩阵是由多元函数的二阶导数组成的方阵）的正定性来判断。如果Hessian矩阵是半正定矩阵，则是f(X)f(X)凸函数

f(x)=x^3 函数是凸函数吗？
它不是凸函数

什么是“凸规划”？如何判别一个规划问题是凸规划问题。举例说明？

定义：

上图是凸规划
与一般的最优化问题标准形式相比，凸规划有三点附加条件：
（1）目标函数f（x）必须是凸函数；
（2）不等式约束函数gi（x）必须是凸函数，不等式gi（x）≤0组成的区域为凸集
(3)线性函数和常函数的和函数必须是仿射的