离散数学-①-逻辑和证明

逻辑和证明

命题逻辑

命题是一个陈述语句，分为真命题和假命题，假设p和q为命题，则

• p的否定是（非p）：

$$\neg p$$

• p并q为：

$$p\wedge q$$

• p或q为：

$$p\vee q$$

• p异或q为：

$$p\oplus q$$

• 当p和q有同样的真值结果时，双条件语句为真，否则为假（p当且仅当q），其实就是同或（同真异假）:

$$p\leftrightarrow q$$

• 如果p，则q为（p为条件，q为结论）：

$$p\to q$$

• p→q的逆命题：

$$q\to p$$

• p→q的逆否命题：

$$\neg q\to \neg p$$

• p→q的反命题：

$$\neg p\to \neg q$$

• 逻辑运算符的优先级：
  $$\neg >\wedge >\vee >\to >\leftrightarrow$$

命题逻辑的应用

• 语句翻译：消除歧义
• 系统规范说明：不互相矛盾
• 布尔搜索：使用连接词
• 逻辑谜题：逻辑推理
• 逻辑电路：门电路

命题等价式

• 一个命题结果永远是真的复合命题称为永真式或重言式，例如 p∨¬p永远为真

• 一个命题结果永远是假的复合命题称为矛盾式，例如 p∧¬p永远为假

• 一个命题既不是永真式也不是矛盾式称为可能式，例如 p 可能为真也可能为假

• 逻辑等价：在所有可能的情况下，两个复合命题都有相同的真值结果，因此可以相互置换

• 如果p↔q是永真式，则复合命题p和q是逻辑等价的，记为：
  $$p\equiv q$$

• 恒等律：

$$p\wedge T\equiv p$$

$$p\vee F\equiv p$$

• 支配律：

$$p\vee T\equiv T$$

$$p\wedge F\equiv F$$

• 幂等律：

$$p\vee p\equiv p$$

$$p\wedge p\equiv p$$

• 双重否定律：

$$\neg (\neg p)\equiv p$$

• 交换律：

$$p\vee q\equiv q\vee p$$

$$p\wedge q\equiv q\wedge p$$

• 结合律：

$$(p\vee q)\vee r\equiv p\vee (q\vee r)$$

$$(p\wedge q)\wedge r\equiv p\wedge (q\wedge r)$$

• 分配律：

$$p\vee (q\wedge r)\equiv (p\vee q)\wedge (p\vee r)$$

$$p\wedge (q\vee r)\equiv (p\wedge q)\vee (p\wedge r)$$

• 德 · 摩根律：

$$\neg (p\wedge q)\equiv \neg p\vee \neg q$$

$$\neg (p\vee q)\equiv \neg p\wedge \neg q$$

• 德 · 摩根律扩展：

$$\neg (p₁\vee p₂\vee ...\vee pₙ)\equiv (\neg p₁\wedge \neg p₂\wedge ...\wedge \neg pₙ)$$

$$\neg (p₁\wedge p₂\wedge ...\wedge pₙ)\equiv (\neg p₁\vee \neg p₂\vee ...\vee \neg pₙ)$$

• 吸收律：

$$p\vee (p\wedge q)\equiv p$$

$$p\wedge (p\vee q)\equiv p$$

• 否定律：

$$p\vee \neg p\equiv T$$

$$p\wedge \neg p\equiv F$$

• 条件命题的逻辑等价式：

$$p\to q\equiv \neg p\vee q$$

• 双条件命题的逻辑等价式：

$$p\leftrightarrow q\equiv (p\wedge q)\vee (\neg p\wedge \neg q)$$

• 可满足的：一个复合命题存在一种情况使其结果为真
• 不可满足的：一个复合命题不存在使其结果为真的情况
• 解：使复合命题结果为真的其中一种情况
• 可满足性的应用：
  • 机器人学
  • 软件测试
  • 计算机辅助设计
  • 机器视觉
  • 集成电路设计
  • 计算机网络
  • 数独

谓词和量词

• 涉及n个变量x₁，x₂，…，xₙ的语句可以表示成P(x₁，x₂，…，xₙ)，P称为命题函数，也称为n位谓词或n元谓词
• 论域（域、全体域）：命题在变量处于某一特定范围时都为真，那么这一变量的范围称为变量的论域
• 全称量化：P(x)对x在其论域的所有值为真，表示为

$$\forall xP(x)$$

• 全称量词：∀
• 反例：一个使P(x)为假的个体
• 存在量化：论域中存在一个x满足P(x)为真，表示为

$$\exists xP(x)$$

• 存在量词：∃
• 唯一性量词：∃!，∃!xP(x)表示存在一个唯一的x使得P(x)为真
• 量词∀和∃比命题演算中所有的逻辑运算符都具有更高的优先级
• 被量词修饰的x变量称变量x为约束的，如果没有被量词修饰则称为自由的
• 量词的德·摩根律：

$$\neg \exists xP(x)\equiv \forall x\neg P(x)$$

$$\neg \forall xP(x)\equiv \exists x\neg P(x)$$

• 论证：一连串的命题并最终得出一个结论命题
• 有效性：结论或论证的最后一个命题必须根据论证过程前面的命题或前提的真实性推出

证明导论

• 定理：一个能够被证明为真的语句
• 引理：一个不太重要但有助于证明其他结论的定理
• 推论：从一个已知的定理可以直接推断出的新定理
• 猜想：被提出认为是真的命题，当论证成功后，便可以变成定理
• 论证方法：
  • 直接证明法
  • 反证法
  • 归谬证明法
  • 穷举证明法
    $$

$$\neg \forall xP(x)\equiv \exists x\neg P(x)$$

• 论证：一连串的命题并最终得出一个结论命题
• 有效性：结论或论证的最后一个命题必须根据论证过程前面的命题或前提的真实性推出

证明导论

• 定理：一个能够被证明为真的语句
• 引理：一个不太重要但有助于证明其他结论的定理
• 推论：从一个已知的定理可以直接推断出的新定理
• 猜想：被提出认为是真的命题，当论证成功后，便可以变成定理
• 论证方法：
  • 直接证明法
  • 反证法
  • 归谬证明法
  • 穷举证明法
  • 分情形证明法