有趣的三扇门问题（Monty Hall Problem）

在刚开始学概率论的时候，估计都接触过三扇门问题，今天我们也来聊聊，其实这个问题特别有趣，故事是这样的：

美国有一个电视游戏节目叫Let’s Make a Deal，主持人是蒙提霍尔。他身后有三扇门，其中两扇门后面是山羊，一扇门后面是汽车。先让挑战者随意选一扇门，这样还剩两扇，这两扇中肯定有一扇后面是山羊，然后主持人把山羊前的门打开。注意，还有剩两扇门没开，这时主持人问挑战者是否要重新选择。
问题来了，挑战者是否应当重选，还是坚持自己最初的答案，或是两种做法没有区别？这就是著名的三扇门问题，也叫蒙提霍尔问题。

你肯定认为这是个简单的问题：

• 门1是正确答案（概率1/3）
• 门2是正确答案（概率1/3）
• 门3是正确答案（概率1/3）

假设挑战者选择门1，而主持人打开了门2（说明门2肯定不是汽车），于是变成：

• 门1是正确答案（概率1/2）
• 门3是正确答案（概率1/2）

此时，门1和门3概率都是1/2，一样的。
哦，这个问题好无聊啊~~

其实你错了，在挑战者 做出第一个选择后，有1/3的概率正确，2/3的概率不正确，这个很容易理解，对吧。那是否应该重新选择呢？我们仔细看一下：

• 如果第一次选择正确，重选必定错误
• 如果第一次选择错误，重选必定正确

也就是说，“第一次选择错误”的概率就是“重选后正确”的概率，即重选的正确概率是2/3，重选更加有利！

这样，我再简单解释一下，假定节目是这样定的，对于第一次选择，你选一个或同时选两个都行（选一个是1/3中奖概率，选两个是2/3中奖概率），你想想，傻子都知道，让一次选两个谁一次选一个啊，结果人家主持人还告诉你你选的那两个中有一个是羊，你说是不是便宜都让你占了。
通常有一个地方读者绕不过弯，就是3个选型中，你选一个是1/3中奖几率，一次选两个是2/3中奖几率，绝对不是各1/2，这点千万要清楚。

是不是很难认同我的说法，来，让我们以另外一个角度去看这个问题。

概率是一种很抽象的概念，如果我们仅凭直觉判断，很难清晰理解它的本质。为此，我们希望换一种视角来表述概率，尽量把问题转换成一种可以实际衡量的形式，具体来说，就是放弃使用骰子。

-	挑战者选择门1	挑战者选择门2	挑战者选择门3
门1是正确的	√ 40个会场	× 40个会场	× 40个会场
门2是正确的	× 40个会场	√ 40个会场	× 40个会场
门3是正确的	× 40个会场	× 40个会场	√ 40个会场

如上表所示，我们把所有可能性都列出来。假设在一个巨大的广场中分设了360个游戏会场，每个会场都同时进行游戏。你现在在空中俯看这些会场，这次，我们为每个会场准备了剧本。主持人和挑战者都将按照剧本表演，所有人的行动都已事先确定，只不过，每一个会场的剧本内容各不相同。

其实，这是统计学的方法，从整体分析局部，而概率是从局部分析整体

120个会场门1是正确的，120个会场门2是正确的，120个会场门3是正确的。挑战者选择一个门后，主持人将打开一扇错误的门。请大家特别注意此处，如果挑战者的选择错误，剩下的两扇门分别是正确答案和另外一个错误答案，此时主持人只能打开错误的那扇门。另外一方面，如果挑战者的选择正确（√），剩下两扇门被主持人打开的概率各为一半，综上所述，请看下表：

-	挑战者选择门1	挑战者选择门1	挑战者选择门2	挑战者选择门2	挑战者选择门3	挑战者选择门3
主持人	打开门2	打开门3	打开门1	打开门3	打开门1	打开门2
门1是正确的	√ 20个会场	√ 20个会场	-	× 40个会场	-	× 40个会场
门2是正确的	-	× 40个会场	√ 20个会场	√ 20个会场	× 40个会场	-
门3是正确的	× 40个会场	-	× 40个会场	-	√ 20个会场	√ 20个会场

接下来，我们从上往下眺望，数一数各种类型会场的数量。如果挑战者坚持最初的选择，共有120个标记为√的会场选择正确，其他240个标记为×的是错误的。另一方面，如果挑战者改变了选择，则这120个变成了错误答案，而那240个错误却变成了正确答案。我们只要统计一下各种结果的数量即可得到答案，不存在任何歧义。

我们甚至可以数出之前的轻率结论究竟错了几处。挑战者选择了门3而主持人打开了门1的会场共有60个，其中，门3是正确答案的会场仅有20个，概率并非各占一半。