有趣的三扇门问题(Monty Hall Problem)

在刚开始学概率论的时候,估计都接触过三扇门问题,今天我们也来聊聊,其实这个问题特别有趣,故事是这样的:

美国有一个电视游戏节目叫Let’s Make a Deal,主持人是蒙提霍尔。他身后有三扇门,其中两扇门后面是山羊,一扇门后面是汽车。先让挑战者随意选一扇门,这样还剩两扇,这两扇中肯定有一扇后面是山羊,然后主持人把山羊前的门打开。注意,还有剩两扇门没开,这时主持人问挑战者是否要重新选择。
问题来了,挑战者是否应当重选,还是坚持自己最初的答案,或是两种做法没有区别?这就是著名的三扇门问题,也叫蒙提霍尔问题。

有趣的三扇门问题(Monty Hall Problem)_第1张图片
你肯定认为这是个简单的问题:

  • 门1是正确答案(概率1/3)
  • 门2是正确答案(概率1/3)
  • 门3是正确答案(概率1/3)

假设挑战者选择门1,而主持人打开了门2(说明门2肯定不是汽车),于是变成:

  • 门1是正确答案(概率1/2)
  • 门3是正确答案(概率1/2)

此时,门1和门3概率都是1/2,一样的。
哦,这个问题好无聊啊~~
这里写图片描述
其实你错了,在挑战者 做出第一个选择后,有1/3的概率正确,2/3的概率不正确,这个很容易理解,对吧。那是否应该重新选择呢?我们仔细看一下:

  • 如果第一次选择正确,重选必定错误
  • 如果第一次选择错误,重选必定正确

也就是说,“第一次选择错误”的概率就是“重选后正确”的概率,即重选的正确概率是2/3,重选更加有利!

这样,我再简单解释一下,假定节目是这样定的,对于第一次选择,你选一个或同时选两个都行(选一个是1/3中奖概率,选两个是2/3中奖概率),你想想,傻子都知道,让一次选两个谁一次选一个啊,结果人家主持人还告诉你你选的那两个中有一个是羊,你说是不是便宜都让你占了。
通常有一个地方读者绕不过弯,就是3个选型中,你选一个是1/3中奖几率,一次选两个是2/3中奖几率,绝对不是各1/2,这点千万要清楚。

是不是很难认同我的说法,来,让我们以另外一个角度去看这个问题。

概率是一种很抽象的概念,如果我们仅凭直觉判断,很难清晰理解它的本质。为此,我们希望换一种视角来表述概率,尽量把问题转换成一种可以实际衡量的形式,具体来说,就是放弃使用骰子。

- 挑战者选择门1 挑战者选择门2 挑战者选择门3
门1是正确的 40个会场 × 40个会场 × 40个会场
门2是正确的 × 40个会场 40个会场 × 40个会场
门3是正确的 × 40个会场 × 40个会场 40个会场

如上表所示,我们把所有可能性都列出来。假设在一个巨大的广场中分设了360个游戏会场,每个会场都同时进行游戏。你现在在空中俯看这些会场,这次,我们为每个会场准备了剧本。主持人和挑战者都将按照剧本表演,所有人的行动都已事先确定,只不过,每一个会场的剧本内容各不相同。

其实,这是统计学的方法,从整体分析局部,而概率是从局部分析整体

120个会场门1是正确的,120个会场门2是正确的,120个会场门3是正确的。挑战者选择一个门后,主持人将打开一扇错误的门。请大家特别注意此处,如果挑战者的选择错误,剩下的两扇门分别是正确答案和另外一个错误答案,此时主持人只能打开错误的那扇门。另外一方面,如果挑战者的选择正确(),剩下两扇门被主持人打开的概率各为一半,综上所述,请看下表:

- 挑战者选择门1 挑战者选择门1 挑战者选择门2 挑战者选择门2 挑战者选择门3 挑战者选择门3
主持人 打开门2 打开门3 打开门1 打开门3 打开门1 打开门2
门1是正确的 20个会场 20个会场 - × 40个会场 - × 40个会场
门2是正确的 - × 40个会场 20个会场 20个会场 × 40个会场 -
门3是正确的 × 40个会场 - × 40个会场 - 20个会场 20个会场

接下来,我们从上往下眺望,数一数各种类型会场的数量。如果挑战者坚持最初的选择,共有120个标记为的会场选择正确,其他240个标记为×的是错误的。另一方面,如果挑战者改变了选择,则这120个变成了错误答案,而那240个错误却变成了正确答案。我们只要统计一下各种结果的数量即可得到答案,不存在任何歧义。

我们甚至可以数出之前的轻率结论究竟错了几处。挑战者选择了门3而主持人打开了门1的会场共有60个,其中,门3是正确答案的会场仅有20个,概率并非各占一半。

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