扩展欧几里德算法模版题（求逆元+分析+题目）HDU1576 A/B

首先给大家普及一下什么是扩展欧几里德算法，它是由欧几里德算法演变的，即我们常说的辗转相除法。

代码如下：
int  gcd( int  a, int  b){
    return  b?gcd(b,a%b):a;
}

那么对于不完全为0的非负整数，a，b，gcd（a，b）表示a，b的最大公约数，必然存在整数对x，y使得  gcd（a，b）=ax+by

求解 x，y的方法的理解

设 a>b。

1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

2，a>b>0 时

设 ax 1+ by 1= gcd(a,b);

bx 2+ (a mod b)y 2= gcd(b,a mod b);

根据朴素的 欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);

则:ax 1+ by 1= bx 2+ (a mod b)y 2;

即:ax 1+ by 1= bx 2+ (a - [a / b] * b)y 2=ay 2+ bx 2- [a / b] * by 2;

也就是ax 1+ by1 == ay 2+ b(x 2- [a / b] *y 2);

根据恒等定理得： x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2;

这样我们就得到了求解 x 1,y 1 的方法：x 1，y 1 的值基于 x 2，y 2.

上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束，最后通过线性关系求出最初的x，y。

扩展欧几里德算法

 代码一如下：

int exGcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int r=exGcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;x=y;y=t-a/b*y;
    return r;
}

 代码二如下：

int gcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if (b==0){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int q=gcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return q;
}

//递归最底层必定是a==gcd(a,b)，所以x==1，b*y任意，令y=0，方便求解。 通过以上介绍的相邻两层递归之间线性关系，求出最初的x，y。

//找到一组数对x，y使得等式成立，但并不是最简的整数，也不是非负的。下面的题目会涉及到。

A/B

Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 4753    Accepted Submission(s): 3701

Problem Description

要求(A/B)%9973，但由于A很大，我们只给出n(n=A%9973)(我们给定的A必能被B整除，且gcd(B,9973) = 1)。

 

Input

数据的第一行是一个T，表示有T组数据。
每组数据有两个数n(0 <= n < 9973)和B(1 <= B <= 10^9)。

 

Output

对应每组数据输出(A/B)%9973。

 

Sample Input

2 1000 53 87 123456789

 

Sample Output

7922 6060

（之前写的思路简直就是扯淡，现在终于找到了方向）

思路：一个很大的数，在进行+、* 运算时，不断的取余是不影响结果的，但是 “-” 会出现负数，只要+mod在再%mod就行了，但是 /（除法）需要求逆元。所以这个就是个模板题。

代码如下：

思路一（正解）：

#include   
#include   
  
#define m 9973  
int exGcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int r=exGcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;x=y;y=t-a/b*y;
    return r;
}
  
int main()  
{  
    int n,b,t,x,y;  
    scanf("%d",&t);  
  
    while(t--)  
    {  
        scanf("%d%d",&n,&b);  
        exGcd(b,m,x,y);  
        x=(x%m+m)%m;  //默认
        printf("%d\n",(x*n)%m);  //正常情况这里要求x*A的，但是A比较大给了A%m取余了。
    }  
    return 0;  
}

思路二：

//当然也可以从原理上分析这个题目因为A%B==0,假设A/B=T;模拟一下T的值就可以了，易犯错误(A/B)%9973!=(A%9973)/(B%9973)

#include


int main()
{
	long long a,b;
	int k=9973;
	long long w;
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%I64d%I64d",&a,&b);
		int t=1;
		while(w%k!=a)
			w=(t++)*b;
		printf("%I64d\n",(t-1)%k);
	}
	return 0;
 }