opencv3/C++ 离散余弦变换DCT

离散余弦变换/Discrete cosine transform，

根据离散傅里叶变换的性质，实偶函数的傅里叶变换只含实的余弦项，而数字图像都是实数矩阵，因此构造了一种实数域的变换——离散余弦变换(DCT)。
离散余弦变换具有很强的”能量集中”特性，左上方称为低频数据，右下方称为高频数据。而大多数的自然信号(包括声音和图像)的能量都集中在离散余弦变换后的低频部分。因此也可以在图像压缩算法中用来进行有损压缩。（如JPEG压缩编码）

OpenCV中dct()

在OpenCV中有专门进行离散余弦变换的函数dct()。
dct()函数执行1D或2D浮点数组的正向或反向离散余弦变换（DCT）：
N个元素的一维向量的正余弦变换：
Y=C(N)⋅X Y = C ( N ) ⋅ X
此处 C(N)jk=αj/N−−−−−√cos(π(2k+1)j2N) C j k ( N ) = α j / N cos ⁡ ( π ( 2 k + 1 ) j 2 N ) ； αj=2 α j = 2 ， j>0 j > 0

• N个元素的一维矢量的逆余弦变换：
  X=(C(N))−1⋅Y=(C(N))T⋅YC(N) X = ( C ( N ) ) − 1 ⋅ Y = ( C ( N ) ) T ⋅ Y C ( N )
  由于 C（N） C （ N ） 是一个正交矩阵，因此 C(N)⋅(C(N))T=I C ( N ) ⋅ ( C ( N ) ) T = I
• M×N矩阵的正向2D余弦变换：
  Y=C(N)⋅X⋅(C(N))T Y = C ( N ) ⋅ X ⋅ ( C ( N ) ) T
• M×N矩阵的逆二维余弦变换：
  X=(C(N))T⋅X⋅C(N) X = ( C ( N ) ) T ⋅ X ⋅ C ( N )

该函数通过查看输入数组的标志和大小来选择操作模式：

• 如果（flags＆DCT_INVERSE）== 0，则函数执行向前的1D或2D变换。否则是一个逆1D或2D变换。
• 如果（flags＆DCT_ROWS）！= 0，则函数执行每行的一维变换。
• 如果数组是单列或单行，则该函数执行一维变换。
• 如果以上都不是，则该函数执行2D变换。

目前dct支持偶数大小的数组（2,4,6 …）。对于数据分析和逼近，可以在必要时填充数组。另外，函数性能对数组大小的依赖性非常大，而不是单调的。在当前实现中，大小为N的矢量的DCT通过大小为N / 2的矢量的DFT来计算。因此，最佳DCT大小N1 > = N可以计算为：

size_t getOptimalDCTSize（size_t N）{return 2 * getOptimalDFTSize（（N + 1）/ 2）; }
N1 = getOptimalDCTSize（N）;

dct()参数

• src 输入浮点数组。
• dst 输出与src大小和类型相同的数组。
• flags 转换标志

opencv示例

#include   
#include 
#include 
#include   
using namespace std;  
using namespace cv;  
int main()
{
    Mat src = imread("E:\\image\\sophie.jpg", 0); 
    if(src.empty())
    {
        cout << "the image is not exist" << endl;  
        return -1;
    }
    resize(src, src, Size(512, 512));
    src.convertTo(src, CV_32F, 1.0/255);
    Mat srcDCT; 
    dct(src, srcDCT);

    imshow("src", src);
    imshow("dct", srcDCT);
    waitKey();
    return 0;
}

可以看到因为第一幅图像的细节较少，因此DFT变换数据主要集中在左上方（低频区域），高频区域大部分为0：

而第二幅图像相对而言具有较为丰富的细节，因此相对于第一幅图像中间区域出现了大量的非0值：

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wikipedia:Discrete cosine transform