算法导论12.2查询二叉搜索树 练习总结

12.2-1 假设一棵二叉搜索树中的结点在 1 到 1000 之间，现在想要查找数值为 363 的结点。下面序列中哪个不是查找过的序列？

a. 2， 252， 401， 398，330，344，397，363。

b. 924，220，911，244，898，258，362，363。

c. 925，202，911，240，912，245，363。

d. 2，399，387，219，266，382，381，278，363。

e. 935，278，347，621，299，392，358，363。

ANSWER：

c：240 < 911，即 240 是 911 的左子树，则 240 后的数需小于 911，而 912 > 911，矛盾。

e：621 > 347，即 621 是 347 的右子树，则 621 后的数需大于 347，而 299 < 347，矛盾。

12.2-2 写出 TREE-MINIMUM 和 TREE-MAXIMUM 的递归版本。

ANSWER：

TREE_MINIMUM(root){
    if (root->left == NULL)
        return root;
    else
        return TREE_MAXIMUM(root->right);
}

TREE_MAXIMUM(root){
    if (root->right == NULL)
        return root;
    else
        return TREE_MAXIMUM(root->right);
}

12.2-3 写出过程 TREE-PREDECESSOR 的伪代码。

ANSWER：

伪代码：
TREE-PREDECESSOR(x)
    if x.left ≠ NIL
        return TREE-MAXIMUM(x.left)
    y = x.p
    while y ≠ NIL and x == y.left:
        x = y
        y = x.p
    reutrn y

12.2-4 Bunyan 教授认为他发现了一个二叉搜索树的重要性质。假设在一棵二叉搜索树中査找一个关键字 k，查找结束于一个树叶。考虑三个集合：A 为査找路径左边的关键字集合；B 为査找路径上的关键字集合；C 为査找路径右边的关键字集合。Bunyan 教授声称：任何 a ∈ A，b ∈ B 和 c ∈ C，一定满足 a ≤ b ≤ c。请给出该教授这个论断的一个最小可能的反例。

ANSWER：

12.2-5 证明：如果一棵二叉搜索树中的一个结点有两个孩子，那么它的后继没有左孩子，它的前驱没有右孩子。

ANSWER：根据 TREE-SUCCESSOR ( TREE-PREDECESSOR )，如果结点 x 有右（左）儿子，则返回右（左）儿子的 TREE-MINIMUM ( TREE-MAXIMUM )，所以后继（前驱）没有左（右）儿子。

12.2-6 考虑一棵二叉搜索树 T，其关键字互不相同。证明：如果 T 中一个结点 x 的右子树为空，且 x 有一个后继 y，那么 y 一定是 x 的最底层祖先，并且其左孩子也是 x 的祖先。（注意到，每个结点都是它自己的祖先。）

ANSWER：当结点 x 的右儿子为空时，执行的循环算法就是题意。

12.2-7 对于一棵有 n 个结点的二叉搜索树，有另一种方法来实现中序遍历，先调用 TREE-MINIMUM 找到这棵树中的最小元素，然后再调用 n-1 次的TREE-SUCCESSOR。证明：该算法的运行时间为 Θ（n）。

ANSWER：每条边遍历了两次。所以时间为Θ（n）。

12.2-8 证明：在一棵高度为 h 的二叉搜索树中，不论从哪个结点开始，k 次连续的 TREE-SUCCESSOR 调用所需时间为 O( k+h )。

ANSWER：假设开始的结点为V，结束的结点为T。

① 若 V 和 T 在同一条路径上，即 V 是 T 的祖先或者 T 是 V 的祖先，则和 12.2-7 一样，所示时间为 O( k )。

② 若 V 和 T 不在同一路径上；则令 W 是 V 和 T 的最小公共祖先，则从 V 到 T 过程必经过 W。从 V 到 W 和 W 到 T 的过程的时间必不大于 2h+2h ，即 O( h )。另外的在 V 到 W 和 W 到 T 经过的分支的时间复杂度之和为 O( k )。

所以总时间复杂度为 O( h+k )。

12.2-9 设 T 是一棵二叉搜索树，其关键字互不相同；设 x 是一个叶结点，y 为其父结点。证明：y.key 或者是 T 树中大于 x.key 的最小关键字，或者是 T 树中小于 x.key 的最大关键字。

ANSWER：由于 x 是叶结点，所以 x 没有儿子；

若 x 是 y 的左儿子，则 y 是 x 的后继（即y.key 是 T 树中大于 x.key 的最小关键字）；

若 x 是 y 的右儿子，则 y 是 x 的前驱（即y.key 是 T 树中小于 x.key 的最大关键字）。