「P1562」还是 N 皇后

Description

有一个 \(N \times N\) 的方格棋盘，有的位置是 *，表示能放置皇后；有的位置是.，表示不能放置皇后。需要放置 \(N\) 个皇后，使得它们不相互攻击（即任意 \(2\) 个皇后不允许处在同一排，同一列，也不允许处在与棋盘边框成 \(45^\circ\) 角的斜线上）。
你的任务是，对于给定的 \(N\)，求出有多少种合法的放置方法。数据保证有解。

Solution

• 一些定义

1. \(row\) 皇后对其所在列的攻击，0表示所在列是安全的，1反之。
2. \(left\) 皇后对其自左上角向右下的主对角线上的攻击，0表示所在主对角线是安全的，1反之。
3. \(right\) 皇后对其自右上角向左下的副对角线上的攻击，0表示所在副对角线是安全的，1反之。
4. \(free\) 综合上三种情况，所有列的情况，1表示所在列是安全的，0反之。
5. \(first\) 从前往后，第一个安全的列，只有一个 1 表示安全，其余都是 0。

注意：\(row,left,right\) 都是 \(0\) 表示当前列安全（空闲）且都是递归的参数，而 \(free,first\) 都是 \(1\) 表示当前列能够放皇后，是在递归中的临时变量。

• 状压最大状态

左移的开始开始只有一个 \(1\)，设 \(n=8\)，为 100000000，然后减 \(1\)，借位，为 11111111。\((1< 经常表示最大状态。

• 求 \(free\)

所有列危险即 \(row\) 都是 1，所以当 \(row=(1<，回溯。

1. 如果 \(row,left,right\) 中任意个对第 \(i\) 列攻击，那么第 \(i\) 列危险即为 1。

2. 因为要做到一个为真结果为真，所以取反\(\sim row| left|right\)，第 \(i\) 个安全即为 1。但是，取反得到的答案是负数，所以 \(free = ((1<。

注意：取反一定要小心使用。对无符号数 \(n\) 取反得到的是 \(-(n+1)\)，可以通过与上 \((1<转成正数。

• 求 \(last\)

如果\(n\& \sim n\)，结果为 \(0\)，那么\(n\& \sim n+1\)呢？

1. 假设二进制数从前往后第一个 1 在 \(pos\)，那么 \(pos\) 在取反之前为空或 0，取反之后为0（每次都把从前往后第一个安全的列放皇后，所以取到 \(pos\) 时，\(pos\) 之后的位置已经全为 0）。

2. 取反后第一个 0 在 \(pos\)，之前为空或1，之后全为 1。对取反后的二进制加 \(1\)，由于 pos 之后全为 1，所以加 \(1\) 的时候回往前 进位，进位后 \(pos\) 之后的位置全为 0,\(pos\) 列已经接受到了后面传来的进位成为 1。

3. 两个二进制数与后，\(pos\)前和 \(pos\) 后全部 0 0 为 0。只剩下 \(pos\) 一个位置 1 1 为 1，现在二进制数就是需要的 \(first=free \& (\sim free + 1)\) 。

4. 在将 \(last\) 处理后，如何得到下一个 \(last\) 呢？因为 \(last\) 是根据 \(free\) 得到的，所以需要进行更新。或运算是不可行的，因为 \(1|0=0\)，而原来所有在 \(free\) 能放的位置在或运算后就不能放了。可以进行 \(free\&= \sim last\) ，这样就成功更新了。

• 下一层递归

1. \(row\) 如何进入下一层递归？当前已经将 \(pos\) 列放上了皇后， 那么如何将 \(row\) 的 \(pos\) 位改为 1 呢？因为 \(row\) 与 \(last\) 中 0 和 1 表示的意义正好相反，所以为 \(row|last\) 。
2. \(left\) 如何进入下一层递归？同样用更新 \(row\) 的方法更新 \(left\)。但是因为对角线是呈\(45^\circ\) 角倾斜的，这一列 \(pos\) 位是 \(0\)，到了下一行，pos+1 一定是在 \(pos+1\) 位的（如果存在）。所以为 \((left|last)>>1\)。
3. \(right\) 进入下一层递归的方法可参照 \(left\) 进入下一层递归的方法，把右移改成左移即可。为\((right|last)<<1\)。

• 不可放置

在输入的棋盘中，用 \(a_i\) 表示第 \(i\) 行的每一列是否可以放置皇后。如何在输入的时候预处理呢？在 \((i,j)\) 读入到 . 时，需要将 \(a_i\) 的第 \(j\) 位变成 \(1\)，为 \(a_i|=(1<<(j-1))\)。在搜索中，新增一个参数 \(lev\) 表示当前搜索至第 \(lev\) 行，然后将int free=INF&~(row|left|right);修改成int free=INF&~(row|left|right|a[lev]);即可。

Code

#include
using namespace std;
int n,ans,INF;
int a[101];
char s[101];
void dfs(int row,int left,int right,int lev)
{
    if(row==INF)
    {
        ans++;
        return ;
    }
    int free=INF&~(row|left|right|a[lev]);
    while(free)
    {
        int last=free&((~free)+1);
        free&=~last;
        dfs(row|last,(left|last)>>1,(right|last)<<1,lev+1);
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n); INF=(1<

转载于:https://www.cnblogs.com/lyfoi/p/11443736.html