MatLab 2018a 官方教程[三]

前言

MatLab 2018a 官方教程
Matlab 2018a 官方教程[二]
接下来是要讲一讲Matlab的矩阵处理

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1.特殊矩阵

• 通用的
  • zeros
    zeros(m): m*m
    zeros(m,n) m*n
    zeros(size(A)) 与矩阵A同样大小的零矩阵
  • ones
  • eye 对角线=1，矩阵是方阵，得到单位矩阵
  • rand （0，1）区间均匀分布的随机矩阵
    fix(a+(b-a+1)*x) 产生[a,b]区间上均匀分布的随机整数
  • randn 均值=0，反差=1的标准正态分布随机矩阵
    μ+σx : 得到均值为μ，反差为σ的随机数
• 学科矩阵
  • 魔方矩阵

>> M = magic(n)
# 每行的和为：(n+n³)/2

• 范德蒙矩阵:各种通信系统的纠错编码

Trial>> vander([1,2,3,4,5])

ans =

     1     1     1     1     1
    16     8     4     2     1
    81    27     9     3     1
   256    64    16     4     1
   625   125    25     5     1

• 希尔伯特矩阵:较小的变动都会发生很大的变动

Trial>> format rat
Trial>> H = hilb(4)

H =

       1              1/2            1/3            1/4     
       1/2            1/3            1/4            1/5     
       1/3            1/4            1/5            1/6     
       1/4            1/5            1/6            1/7     

• 伴随矩阵

Trial>> A = compan([1,-2,-5,6])

A =

       2              5             -6       
       1              0              0       
       0              1              0  

• 帕斯卡矩阵，杨辉三角
  它的逆矩阵的所有元素也是整数

Trial>> P = pascal(4)

P =

       1              1              1              1       
       1              2              3              4       
       1              3              6             10       
       1              4             10             20       

Trial>> inv(P)  

ans =

       4             -6              4             -1       
      -6             14            -11              3       
       4            -11             10             -3       
      -1              3             -3              1       

2.矩阵变换

• 对角阵
  对角矩阵：只有对角线上有非零元素的矩阵
  数量矩阵：对角线上的元素相等的对角矩阵
  单位矩阵：对角线=1
  （1）提取矩阵的对角线元素
  diag(A):产生一个列向量
  diag(A,k)：提取矩阵第k条对角线的元素，产生一个列向量；中间k=0；往上k>0;往下，k<0;
  （2）构造对角矩阵
  diag(V)：以向量V为对角线元素，产生对角矩阵；
  diag(V,k)：以向量V为第k条对角线元素，产生对角矩阵；
• 三角阵
  上三角阵：
  triu(A)：提取A的主对角线及以上的元素；
  triu(A,k)：提取A的第k条对角线及以上的元素；
  下三角阵：
  tril(A)
  trip(A,k)
• 转置
  符号：.'
  共轭转置：'，在转置的基础上还要取每一个数的复共轭
• 旋转
  rot90(A,k)：将A逆时针旋转90°的k倍，当k=1省略；
• 翻转
  fliplr(A)：左右翻转
  flipud(A)：上下翻转
  用途：提取副对角线，先把主对角线翻转，然后diag(A)提取；
• 求逆
  AB=BA=1
  inv(A)

3.矩阵求值

• 矩阵的行列式值 :
  方阵。
  det(A)：求方阵A所对应的行列式的值；
  det(inv(A)) = 1/det(A)
• 矩阵的秩 ：
  线性无关的行数或者列数；rank(A);
  例如：魔方阵；奇数为满秩；
• 矩阵的迹 ：
  矩阵的对角线元素之和=矩阵的特征值之和
  trace(A) = sum(diag(A))
• 矩阵的范数
  度量矩阵或矩阵在某种意义下的长度：
  三种向量：
  (1)向量元素的绝对值之和 norm(V,1)
  (2)向量元素的平方和的平方根 norm(V) norm(A,2)
  (3)所有向量元素绝对值中的最大值 norm(V,inf)
  三种矩阵：
  (1) 矩阵列元素绝对值之和的最大值
  (2) A'A矩阵的最大特征值的平方根 √λ
  (3)所有矩阵行元素绝对值之和的最大值
• 矩阵的条件数
  A的条件数=A的范数与A的逆矩阵的范数的乘积
  条件数越接近1，矩阵的性能越好，反之，性能越差；
  (1)cond(A,1)
  (2)cond(A,2) cond(A)
  (3)cond(A,inf)

4.特征值与特征向量

Ax=λx: x:特征向量
E=eig(A)：A的全部特征值，构成向量E
[X,D]=eig(A)：A的全部特征值，构成对角阵D，并产生矩阵X，X各列是相应的特征向量
几何意义：图像变换

5.稀疏矩阵

0远远大于1的个数
矩阵的存储方式

• 完全存储
• 稀疏存储：只存储矩阵的非零元素的值以及位置；

稀疏存储方式的产生
(1) A=sparse(S)，矩阵S转化为稀疏存储方式的矩阵A
S = full(A) ， 矩阵A转化为完全存储方式的矩阵S
(2) 直接建立稀疏存储矩阵
sparse(m,n)：生成一个m*n的所有元素都是零的稀疏矩阵
sparse(u,v,S)：uvS是三个等长的向量。S是要简历稀疏存储矩阵的非零元素，uv分布是S的行和列下标
(3)带状稀疏矩阵，对角线
[B,d]=spdiags(A)
A=spdiags(B,d,m,n)
(4)
speye(m,n) 单位矩阵
稀疏矩阵的应用