经典算法——最长回文子序列

最长回文子序列LPS（Longest Palindromic Subsequence）问题

一个字符串有许多子序列，比如字符串cabbeaf，它的子序列有c、abb、e、a、f，可以通过删除某些字符而变成回文字符串，字符串“cabbeaf”，删掉‘c’、'e'、‘f’后剩下的子串“abba”就是回文字符串，也是其中最长的回文子序列。注意和最长回文子串点击打开链接的区别，最长回文子串必须是连续的，这里的最长回文子序列，可以是不连续的，这就是最长回文子序列LPS问题。

方法一：递归方法

str[0...n-1]是给定的字符串序列，长度为n，假设lps(0,n-1)表示序列str[0...n-1]的最长回文子序列的长度。

1.如果str的最后一个元素和第一个元素是相同的，则有：lps(0,n-1)=lps(1,n-2)+2；例如字符串序列“AABACACBA”，第一个元素和最后一个元素相同，其中lps(1,n-2)表示红色部分的最长回文子序列的长度；

2.如果str的最后一个元素和第一个元素是不相同的，则有：lps(0,n-1)=max(lps(1,n-1),lps(0,n-2))；例如字符串序列“ABACACB”，其中lps(1,n-1)表示去掉第一元素的子序列，lps(0,n-2)表示去掉最后一个元素的子序列。

#include
#include
#include
using namespace std;

//递归方法，求解最长回文子序列
int lps(char *str, int i, int j)
{
	if (i == j)
		return 1;	//只有一个元素，回文长度为1
	if (i > j) return 0;   //因为只计算序列str[i....j]

	//如果首尾相同
	if (str[i] == str[j])
		return lps(str, i + 1, j - 1) + 2;
	//如果首尾不同
	return max(lps(str, i, j - 1), lps(str, i + 1, j));
}

int main()
{
	char str[] = "cabbeaf";
	int n = strlen(str);
	int res = lps(str, 0, n - 1);
	cout << res<< endl;
	getchar();
	return 0;
}

重叠子问题

但是通过上面递归的方法，会出现很多重复的计算，比如上面的L(1,4)，所以可以采用动态规划的方法求解

方法二：动态规划方法

通过自下而上的方式记录子问题的最优解

#include
#include
using namespace std;

//动态规划求解最长回文子序列，时间复杂度为O(n^2)
int lpsDp(char *str, int n)
{
	int dp[10][10], tmp;
	memset(dp, 0, sizeof(dp));
	for (int i = 0; i < n; ++i) 	dp[i][i] = 1;

	for (int i = 1; i < n; ++i)
	{
		tmp = 0;
		//考虑所有连续的长度为i+1的子串，str[j....j+i]
		for (int j = 0; j + i < n; j++)
		{
			//如果首尾相同
			if (str[j] == str[j + i])
				tmp = dp[j + 1][j + i - 1] + 2;
			//如果首尾不同
			else 
				tmp = max(dp[j + 1][j + i], dp[j][j + i - 1]);
			dp[j][j + i] = tmp;
		}
	}
	return dp[0][n - 1]; //返回字符串str[0...n-1]的最长回文子序列长度
}

int main()
{
	char str[10] = "cabbeaf";
	int res = lpsDp(str, strlen(str));
	cout << res << endl;
	getchar();
	return 0;
}

参考：http://www.geeksforgeeks.org/dynamic-programming-set-12-longest-palindromic-subsequence/

附：腾讯2016实习笔试编程题

所谓回文字符串，就是一个字符串，从左到右读和从右到左读是完全一样的，比如“aba”、“c”，对于一个字符串，可以通过删除某些字符而变成回文字符串，如“cabebaf”，删除'c'、'e'、‘f’后剩下子串“abba”就是回文字符串。

要求，给定任意一个字符串，字符串最大长度1000，计算出最长的回文字符串长度。

如“cabebaf”的回文串包括“c”、“aba”、“abba”等，最长回文“abba”长度为4。

输入：字符串

输出：最大的回文字符长度。

示例：

输入：cabbeaf

输出：4

#include
#include
using namespace std;
#define MAXN 1000

//动态规划求解最长回文子序列，时间复杂度为O(n^2)
int lpsDp(char *str, int n)
{
	int dp[MAXN>>1][MAXN>>1], tmp;
	memset(dp, 0, sizeof(dp));

	//字符串长度为1，最长回文子序列的长度就是1
	for (int i = 0; i < n; ++i) 	dp[i][i] = 1;

	for (int i = 1; i < n; ++i)
	{
		tmp = 0;
		//考虑所有连续的长度为i+1的子串，str[j....j+i]
		for (int j = 0; j + i < n; j++)
		{
			//如果首尾相同
			if (str[j] == str[j + i])
				tmp = dp[j + 1][j + i - 1] + 2;
			//如果首尾不同
			else 
				tmp = max(dp[j + 1][j + i], dp[j][j + i - 1]);
			dp[j][j + i] = tmp;
		}
	}
	return dp[0][n - 1]; //返回字符串str[0...n-1]的最长回文子序列长度
}


int main()
{
	char str[MAXN];
	while (cin >> str)
	{
		int res = lpsDp(str, strlen(str));
		cout << res << endl;
	}
	getchar();
	return 0;
}