世界的本质是旋转(4)-采样与频谱混叠

在上一章(世界的本质是旋转3-拍照与采样)，我们初步介绍了奈奎斯特定理的形象理解方法1，留下了对带通采样、倒谱等概念的引子。这一章，继续形象地思考上述概念。

1.前文回顾

在前文中，一个关于照相的思维实验对复平面实轴上的单频率震动开展了研究：
$$s(t)=\frac{e^{2\pi jft+j\theta }+e^{-2\pi jft-j\theta }}{2}=cos(2\pi ft+\theta )$$
用一个快拍相机，对旋转的复平面拍照，观察各个时刻下矢量的位置。假设拍照的速率是每秒 $f_s$ 次，变量n代表第几次拍摄，设，$\omega =2\pi \frac{f}{f_s}$ ,则得到采样后的震动为：
$$p(n)=\frac{e^{j\omega n+j\theta }+e^{-j\omega n-j\theta }}{2}=cos(\omega n+\theta )$$
这个 $\omega$ 是指，每次拍照时，矢量比上一次拍照的照片转了 $\omega$ 弧度。

当采样率高于旋转速率的2倍时，可以通过两次观察时刻拍摄的矢量夹角，估算矢量的旋转速度(具备唯一性）。若无此限制，实际上可以推测，无数种旋转速度可造成同样的拍摄结果。

2.采样

现实世界中，我们无法拍摄复平面。相机实际上拍摄的是复平面上两个欧拉向量叠加（相加，除2）在X轴上的一维位置。换句话说，欧拉公式是一维信号在二维空间上的一种可能结构，只可以想象，但无法具体触摸。传感器能够触摸到的只是X轴（实轴）上的一维投影量（每个时刻就1个实数值），如：

• 麦克风记录的声纹，咿咿呀呀，是声音幅度随时刻的变化。
• AD转换器采样量化后的信号，是电磁波能量随时刻的变化。
  既然采样是对高维的连续运动（这是欧拉想象的）进行降维、离散量化，那就一定存在损失，或者说模糊。

情况1

继续前文，假设一个4000Hz的频率去拍照（一秒拍4000张），研究一对旋转的向量，这个向量的初始相位是30度，转速是 500Hz(一秒500圈），实际效果如图：
上图中，照相机成像的结果只是麦克风测量值由A（比如电压福特）变化到B，那些旋转的向量都是欧拉的幽灵，“Ghost”。我们几乎可以立刻推定，当红蓝两个向量的旋转速度直接加快采样率的整数倍时，拍摄观感不变。比如，设整数m, 当转速变为：
$$\omega =2\pi \frac{f+m\cdot f_s}{f_s}$$
时，可以发现$\omega$由两部分组成，
$$\omega =2\pi \frac{f}{f_s}+2\pi m$$
第二部分是整数m倍的$2\pi$,带入三角函数中直接消去了。于是，转速500、 4500、8500、12500……都可以拍摄出相同的效果。直观理解，实际就是“当我在下一刻按下快门时，红、蓝两个欧拉向量已经转了好几圈了。

情况2

但实际情况要比上面的更为奇妙。由于我们目前实际测量的是实信号，即欧拉向量橡皮筋在实轴上的投影，因此无法跟踪两次拍照之间欧拉向量的实部、虚部的旋转状态：
上图中，向量旋转后，二者叠加的结果与第一种情况完全一致。转速${\omega }^{\prime }=2\pi -\omega$、初始相位为$-\theta$, 叠加结果一致。此时，$f^{\prime }=f_s-f$.
对应到上面的例子，f’=3500Hz, 初始相位 -30度。

由于存在周期性，设正整数m, 当转速变为：
$$\omega =2\pi （1-\frac{f+m\cdot f_s}{f_s})$$
时，可以发现$\omega$由两部分组成，
$$\omega =2\pi (1-\frac{f}{f_s})-2\pi m$$
第二部分是整数m倍的$2\pi$,带入三角函数中直接消去了。于是，转速 3500、7500、11500……都可以拍摄出相同的效果。这实际上是一种“倒转错觉”，正着转45度，和倒着转315度，效果是一样的。

离散化后频谱的周期性

频谱的意思是频率的图谱，可以理解为“频率的位置”。当现实世界的运动（可以是机械振动、电磁振荡）所包含的所有运动成分在频率上标记起来，则获得了频谱图。还继续例子，我们的例子世界，只有1种运动，即500Hz的匀速圆周矢量运动（时域余弦震荡），它的频谱是这样的：
一旦进行了采样，超过2000Hz的部分都会导致模糊，我们把这些拍摄效果完全一致的频率位置，标记在数轴上，便形成了下图。
绿色的部分，0-2000Hz，是奈奎斯特定律规定的采样范围。其余的频率，都是由于采样导致的错觉。采样行为只能准确描述2000Hz以下的运动，并会把所有更高频率的运动“投影”到0-2000Hz以内。

3.频谱的混叠

有了上述的认识，就比较容易思考频谱的混叠。假设我们有2个频率，500Hz与7500Hz，显然在进行4000Hz采样后，这两个频率混在了一处。但也不一定是这样的。假设有一个9000Hz的运动成分，经过采样后，频谱会变成这样：
这个运动成分被挪动到1000Hz，与500Hz并不重合。因此，在很多情况下，可以充分利用这个特点，用低档次的硬件（低采样率）配合上带通滤波器，来处理高频的信号。

海阔天空

电磁波究竟是个啥子？ 机械波是通过介质的震动承载的，电磁波呢？欧拉公式、傅里叶分析，这些东西构造了一个虚幻的高维空间，把一维运动放在高纬度去分析。但这些都是数学工具，无法和某种具象的概念联系起来。如果我们看到的现实世界真是高维世界的投影（常见民科论坛），那不排除电磁波也是有载体的，只是载体并不在我们可以测量的维度内。