高等数学：第八章 多元函数的微分法及其应用（1）多元函数的基本概念

§8.1  多元函数的基本概念

本章将在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数的微分法及其应用。讨论中，我们主要以二元函数为主，因为从一元函数到二元函数会产生许多新问题，而从二元函数到二元以上的函数则可以类推。

建议同学们在学习中，注意将二元函数的概念与结论与一元函数的相应的概念与结论加以比较，区别并理解二者之间的“同中之异，异中之同”，这样会大大地提高学习效率。

一、区域

1、邻域

设是平面上的一点，是某一正数，与点距离小于的点的全体，称为点的邻域，记为 。

即   

或   

几何上，是面上以点为中心，为半径的圆内部的点的全体。

以后，若不需要强调邻域的半径时，可用表示点的邻域。

2、区域

设是平面上的一个点集，是平面上的一点，若存在点的某一邻域，使，则称为的内点。

如果点集的点都是内点，则称为开集。

例如，点集便是一个开集。

如果点的任一邻域内既有属于的点，又有不属于的点（点本身可以属于，也可以不属于），则称为的 边界点。

的边界点的全体称为的边界。

例如，点集的边界是圆周和。

设是开集，若对于内任何两点，都可以用完全属于的折线连结起来，则称开集是连通的。

连通的开集称之为区域或开区域。

 

例如，点集与均是区域。

开区域连同它的边界一起，则称之为闭区域。

例如，与 均是闭区域。

对于点集，若存在正数，使一切点与某一定点间的距离不超过，即 ， 则称为有界点集；否则称为无界点集。

例如，是有界开区域， 而是无界开区域。

【例】说明点集的特征。

是开集，但非连通，且是无界的点集。

3、聚点

设是平面上的一个点集，是平面上的一个点，若点的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集，则称为的聚点。

显然，的内点一定是的聚点；

的边界点可能是的聚点，也可能不是的；的聚点可能是中的一点，也可能不是中的点。

例如，，但是的聚点;

而直线上的任意点既是的边界点，也是的聚点。

4、n维空间

数轴上的点与实数具有一一对应的关系，从而全体实数表示数轴上一切点所构成的集合，即直线。

在平面引入直角坐标系之后，平面上的点与二元数组形成了一一对应，从而，二元数组的全体表示平面一切点的集合，即平面。

在空间引入直角坐标系之后，空间的点与三元数组形成了一一对应，从而，三元数组的全体表示空间一切点的集合，即空间。

一般地，

设为取定的一个自然数，称元数组的全体为维空间，而每个元数组称为维空间中的一个点，数称为该点的第个坐标，维空间记为。

维空间中的两点与之间的距离规定为

很明显，当时，上式便是解析几何中关于直线,平面,空间内两点间的距离。

前面究平面点集所陈述的一系列概念，均可类似地推广到维空间。

例如：设，是某一正数，则内的点集

称为点的邻域。

以点的邻域概念为基础，便可完全类似地定义内点、边界点、区域、聚点等等一系列概念，这里不再赘述。

二、多元函数概念

实际问题中，经常会遇到多个变量之间的依赖关系。

【例1】圆柱体的体积和它的底半径、高之间具有关系

这里，当在集合内取定一对值时，的对应值就随之确定了。

【例2】设是电阻与并联之后的总电阻，则它们之间具有关系

这里，当在集合内取定一对值时，的对应值也就随之确定了。

抽出这些具体例子所蕴藏的内涵，我们可给出二元函数的定义。

【定义】

设是平面上的一个点集，如果对于每个点，变量按照一定法则总有确定的值与之对应，则称是变量的二元函数（或点的函数），并记为

      （或   )

点集称为该函数的定义域， 称为自变量，称为因变量，而数集称为该函数的值域。

【注记一】是的函数有时也记为这样的形式

请注意，这种记号中的两个的含义是不同的，左边的是因变量，右边的是对应法则。尽管我们的记号发生了混写，但对它们的涵义要“胸中有数”。

【注记二】一般地，把定义中的平面点集换成维空间内的点集，可类似地定义元函数，元函数也可简记为，这里，点，当时，元函数也就是一元函数，当时，元函数统称为多元函数。

【注记三】多元函数的定义域约定

在讨论多元函数时，以这个算式有确定值的自变量取值点集为该函数的定义域。

例如，函数的定义域应认为是

而函数的定义域为

【注记四】函数的几何意义

设函数的定义域为，对于任取点，其对应的函数值为，于是得到了空间内的一点。当遍取定义域内一切点时，得到了空间点集

这个点集称之为二元函数的图形， 通常我们称二元函数的图形是一张空间曲面。

【注记五】介绍计算机作图

1、对区域用直线,作剖分，得到面上的格点。这些格点有一部分在区域内，有一部分在区域之外。

2、计算函数在这些格点处的值,对区域之外的格点，函数无定义，计算机会自动进行判断，在作图时自动处理。

3、在空间直角坐标系中画出这些点，并用网状线将这些点联结起来，张成一块曲面。

三、多元函数的极限

先讨论二元函数当时的极限。

【描述性的定义】

设函数的定义域为，点是的聚点，对于任意点，当点以任何方式趋近于点时，对应的函数值无限地趋近于一个确定的常数，则称常数为函数在时的极限，记作

或 

对于这一定义，我们给出如下几点重要注解。

【注一】是区域的聚点，则它可能属于，也可能不属于，但在任意的邻域内总有内的无限多个点，因此，

取点   总是可行的。

例如，对于极限，这里，是函数的定义域的聚点。

【注二】，表示点以任何方式趋近于点，在内，点趋近于点是沿“四面八方”的各种各样路径来逼近的，而在一元函数的极限中，的方式仅有沿数轴这一种路径，因此，二元函数的极限与一元函数的极限相比较，它是一种“全面极限”，比一元函数极限复杂得多。通常我们称它为二重极限。

【例1】求二重极限。

解：

【注三】二重极限是一种全面极限，当  以某几条特殊路径趋近于时，即使函数无限地趋近于某一确定常数，并不能断定函数的极限存在。

反过来,如果当沿两条不同路径趋近于点时,函数趋近于不同的值, 则可以断定函数的二重极限不存在。

【例2】试证明函数在原点的二重极限不存在。

证明：若点沿路径趋向于原点时，有

若点沿路径趋向于原点时，有

这表明，当点仅以两种特殊的路径趋近于原点时，函数的极限值不相等。据二重极限的定义可知，

不存在。

判定函数的二重极限不存在的常用方法

设法选择面上过点的两条曲线与，使极限与的值不相等。

【例3】求

解：

而当时，

由两边夹法则，有 

故  

函数的二重极限的概念不难推广到更多元函数的极限，这里从略。

四、多元函数的连续性

利用多元函数极限的概念，可定义多元函数的连续性。

【定义】设元函数的定义域为，是的聚点，且，

若     ，

则称元函数在点连续。

设是开区域或闭区域，若函数在上各点处都连续，则称函数在上连续，或称是上的连续函数。

设是函数定义域内的聚点，如果在点处不连续，则称它为函数的间断点。

【例4】设函数

试证明：原点是其间断点。

证明：二重极限是不存在的，事实上

如图所示，取过原点的路径( 为任意实数 ），有

此极限值与参数的取值有关，随着的不同而不同，因此二重极限

不存在，点是函数的间断点。

与闭区间上一元连续函数的性质相类似，在有界的闭区域上，多元连续函数也有如下性质。

【最大值与最小值定理】

在有界闭区域上的多元连续函数，在上至少取得它的最大值和最小值各一次。

【介值定理】

在有界闭区域上的多元连续函数，若在上取得两个不同的函数值，则它在上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。

特别地，有界闭区域上的多元连续函数可取得它的最小值与最大值之间的任何一个值。

可以证明，一元函数关于极限的运算法则仍适用于多元函数。据极限运算法则，进一步可证明，多元连续函数的和、差、积为连续函数，在分母不为零处，连续函数的商也是连续函数，多元函数的复合函数也是连续函数。

多元初等函数是指这样的函数：

它是由一个式子所表示的多元函数，而这个式子是由常数及含多个自变量的基本初等函数经过有限次四则运算和复合所构成。

例如，下述函数均为多元初等函数

  ，     ,  

据多元连续函数和、差、积、商的连续性以及连续函数的复合函数的连续性，再考虑到基本初等函数的连续性，我们得出如下结论

一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。

【注】这里的定义区域是指含在定义域内的任一区域。

因此，对于多元初等函数，如果要求它在一点处的极限值，而又在此函数的定义区域内，则其极限值就等于函数在该点的函数值，亦即

【例】求二重极限

而却是区域，且，所以是函数的一个定义区域，且点，故

【注】若不引进区域，也可用下述方法来判定函数在点处的连续性。

因点是函数定义域的内点，故存在的某一邻域，而任何邻域都是区域，所以便是函数的一个定义区域，又因是初等函数，因此，在点处连续。

据上述注记，我们有处理这类情况的一般方法：

求时，如果是初等函数，且是定义域的内点，则在点处连续，于是

【例5】求二重极限 

解：

 

【正】原极限中是沿除去轴、轴之外的任何路径趋近于原点，而使用变量替换之后，的路径改变成了，这与二重极限定义不符。

另一方面，与并不等价。