66.关灯问题

编程题目：

66.大厅里有100盏灯，每盏灯都编了编号，分别为1-100，每盏灯由一个开关控制。开关按一下灯亮，再按一下灯灭，开关的编号与灯编号一致。开始时灯是全灭的，现在按照以下规则按动开关：
第一次，将所有的灯点亮；
第二次，将所有2的倍数的开关按一下；
第三次，将所有3的倍数的开关按一下；
以此类推，第N次，将所有的N的倍数的开关按一下。
问第N次（N大于等于2，且小于等于100）按完以后，大厅里还有几盏灯是亮的。

示例代码：

package program.calculation.exercise66;

import java.util.Arrays;

/**
 * 66.大厅里有100盏灯，每盏灯都编了编号，分别为1-100，每盏灯由一个开关控制。开关按一下灯亮，再按一下灯灭，开关的编号与灯编号一致。开始时
 * 灯是全灭的，现在按照以下规则按动开关：
 * 第一次，将所有的灯点亮；
 * 第二次，将所有2的倍数的开关按一下；
 * 第三次，将所有3的倍数的开关按一下；
 * 以此类推，第N次，将所有的N的倍数的开关按一下。
 * 问第N次（N大于等于2，且小于等于100）按完以后，大厅里还有几盏灯是亮的。
 */

/**
 * 第一种方法：暴力解法
 * 分析如下：
 * 暴力解法一般是思路上最接近题意的，按题目要求的步骤直接求解，暴力求解一般计算量也是最大的。
 * 
 * 第二种方法：优化解法，转化为求[1-100]100个数中，约数个数为奇数的数，即完全平方数。
 * 分析如下：
 * 1．对于每盏灯，拉动的次数是奇数时，灯就是亮着的，拉动的次数是偶数时，灯就是关着的。
 * 2．每盏灯拉动的次数与它的编号所含约数的个数有关，它的编号有几个约数，这盏灯就被拉动几次。
 * 3.1-100这100个数中有哪几个数，约数的个数是奇数。我们知道一个数的约数都是成对出现的，只有完全平方数约数的个数才是奇数个。
 * 所以这100盏灯中有10盏灯是亮着的，它们的编号分别是： 1、4、9、16、25、36、49、64、81、100。
 *
 */

public class LightSwitch {
	public static void main(String[] args) {
		
		System.out.println("第一种方法（暴力解法）：");
		countLights1();
		
		System.out.println("第二种方法（优化解法）：");
		countLights2();
		
	}

	//第一种方法：暴力解法
	private static void countLights1() {
		
		int count = 0;
		int[] state = new int[100]; //100盏灯的状态
		Arrays.fill(state,0); //将100盏灯全部置为关闭状态，为0关闭，为1点亮
		
		for(int i=1;i<=state.length;i++){ //按动开关次数
			for(int j=0;j<state.length;j++){ //100盏灯的编号下标
				if((j+1)%i == 0){ //第i次，将所有的i的倍数的开关按一下
					if(state[j] == 0){ //原来的状态取反
						state[j] = 1;
					}else{
						state[j] = 0;
					}
				}
			}
		}
		
		System.out.println("大厅里还亮着的灯的编号是：");
		for(int i=0;i<state.length;i++){
			if(state[i] == 1){
				count++;
				System.out.print((i+1)+" ");
			}
		}
		System.out.println("\n共有"+count+"盏灯");
		
	}

	//第二种方法：优化解法,转化为求[1-100]100个数中，约数个数为奇数的数,即完全平方数.
	private static void countLights2() {
		
		int count = 0;
		int[] lights = new int[100];
		
		System.out.println("大厅里还亮着的灯的编号是：");
		for(int i=0;i<lights.length;i++){
			lights[i] = i+1;
			//求lights[i]的平方根(double)，并转换成int类型
			int n = (int) Math.sqrt(lights[i]);
			//如果lights[i]平方根的平方等于lights[i]，即为完全平方数
			if(lights[i] == n*n){ 
				count++;
				System.out.print(lights[i]+" ");
			}
		}
		System.out.println("\n共有"+count+"盏灯");
		
	}

}

结果显示：