二维偏序

偏序和全序是公里集合论中的概念。

首先你要知道什么是二元关系。
比如实数中的“大小”关系，集合的集合中的“包含”关系就是两种二元关系。

所谓偏序，即偏序关系，是一种二元关系。
所谓全序，即全序关系，自然也是一种二元关系。

全序是指，集合中的任两个元素之间都可以比较的关系。比如实数中的任两个数都可以比较大小，那么“大小”就是实数集的一个全序关系。

偏序是指，集合中只有部分元素之间可以比较的关系。比如复数集中并不是所有的数都可以比较大小，那么“大小”就是复数集的一个偏序关系。

显然，全序关系必是偏序关系。反之不成立。

The Preliminary Contest for ICPC Asia Xuzhou 2019 I. query

题意：给定一个n的排列，给定询问区间[l,r]，问在区间内有多少对倍数关系
思路：可以用前缀和的思想，处理出[1,x]位置的所有倍数关系。答案就是[1,r]的倍数关系数减去[1,l]，同时还要减去其中一个点在l左边，一个点在l右边的情况

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <unordered_map>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#define rep(i,a,b) for (int i=a; i<=b; ++i)
#define per(i,b,a) for (int i=b; i>=a; --i)
#define mes(a,b)  memset(a,b,sizeof(a))
#define mp make_pair
#define ll long long
#define pb push_back
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<ll,ll>
#define ls (rt<<1)
#define rs ((rt<<1)|1)
#define isZero(d)  (abs(d) < 1e-8)
using namespace std;
const int maxn=1e5+5,INF=0x3f3f3f3f;
const int mod=1e9+7;

int n,m;
int C[maxn];
int pos[maxn];
vector<int> v[maxn];
int pref[maxn],ans[maxn];

struct query
{
	int l,r,id;
	bool operator<(const query & b) const
	{
		return l<b.l;
	}
}q[maxn];

int lowbit(int x)
{
	return x&(-x);
}

void add(int pos,int val)
{
	for(int i=pos;i<=n;i+=lowbit(i))
		C[i]+=val;
}

int getsum(int pos)
{
	int ret=1;
	for(int i=pos;i>0;i-=lowbit(i))
		ret+=C[i];
	return ret;
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		int x;
		scanf("%d",&x);
		pos[x]=i;
	}
	
	for(int i=1;i<=m;++i)
		scanf("%d%d",&q[i].l,&q[i].r),q[i].id=i;
	
    sort(q+1,q+1+m);
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		for(int j=i+i;j<=n;j+=i)
		{
			int l=pos[i],r=pos[j];
			if(l>r)
				swap(l,r);
			
			v[l].push_back(r);
			pref[r]++;
		}
	}
	
	for(int i=1;i<=n;++i)
		pref[i]+=pref[i-1];
	
	int now=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		for(auto x : v[i-1])
			add(x,1);	
		while(q[now].l==i&&now<=m)
		{
			ans[q[now].id]=getsum(q[now].r)-getsum(q[now].l-1);
			now++;
		}
	}
	
	for(int i=1;i<=m;++i)
		ans[q[i].id]=pref[q[i].r]-pref[q[i].l-1]-ans[q[i].id];
	
	for(int i=1;i<=m;++i)
		printf("%d\n",ans[i]);
	return 0;
}

P1972 [SDOI2009]HH的项链

题意：给定一个数组，给定一个区间，询问该区间不同的数字有多少个？
思路：用树状数组维护原数组，getsum(i)表示到[1,i]这个区间的不同数字的个数。对于 r 相同的询问来说，我们趋向于把值更新在右边
实现：记录每一个数字上一个出现的位置，因为在后面出现的时候，我们需要取消掉前面的，尽量更新到后面
可以参考大佬的博客https://www.luogu.org/blog/user3432/solution-p1972

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <unordered_map>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#define rep(i,a,b) for (int i=a; i<=b; ++i)
#define per(i,b,a) for (int i=b; i>=a; --i)
#define mes(a,b)  memset(a,b,sizeof(a))
#define mp make_pair
#define ll long long
#define pb push_back
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<ll,ll>
#define ls (rt<<1)
#define rs ((rt<<1)|1)
#define isZero(d)  (abs(d) < 1e-8)
using namespace std;
const int maxn=1e6+5,INF=0x3f3f3f3f;
const int mod=1e9+7;

int n,m,C[maxn],a[maxn];
int last[maxn],ans[maxn];

struct query
{
	int l,r,id;
	bool operator<(const query& b) const
	{
		return r<b.r;
	}
}q[maxn];

int lowbit(int x)
{
	return x&(-x);
}

void add(int pos,int val)
{
	for(int i=pos;i<=n;i+=lowbit(i))
		C[i]+=val;
}

int getsum(int pos)
{
	int ret=1;
	for(int i=pos;i>0;i-=lowbit(i))
		ret+=C[i];
	return ret;
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d",&a[i]);
		
	scanf("%d",&m);
	for(int i=1;i<=m;++i)
		scanf("%d%d",&q[i].l,&q[i].r),q[i].id=i;
	
	sort(q+1,q+1+m);
	
	int now=1;
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		for(int j=now;j<=q[i].r;++j)
		{
			if(last[a[j]])
				add(last[a[j]],-1);
			add(j,1);
			last[a[j]]=j;
		}
		ans[q[i].id]=getsum(q[i].r)-getsum(q[i].l-1);
		now=q[i].r+1;
	}
	for(int i=1;i<=m;++i)
		printf("%d\n",ans[i]);
  
	return 0;
}