数据结构与算法分析笔记与总结(java实现)--二叉树15：对称的二叉树

题目：请实现一个函数，用来判断一棵二叉树是不是对称的。注意，如果一个二叉树同此二叉树的镜像是同样的，定义其为对称的。

思路：何为对称树，所谓对称是指以根结点为界的左右子树左右对称。

方法一：思路很简单，对于先序遍历或者中序遍历或者后序遍历，例如先序遍历（中-左-右），再写一个对称的先序遍历算法（中-右-左）然后分别遍历二叉树，将其放入到2个集合中，然后进行逐一比较即可。需要注意的是，对于二叉树上为null的结点也要遍历并放入到集合中，否则有可能数值相同但是不对称的情况（当所有结点的值相同时）。这种方法很简单，但是需要遍历所有的结点，即使一开始的结点就不对称也需要遍历全部全部的结点，效率较低，需要改进。

方法二：要判断二叉树root是否对称，就看其左右子树root.left和root.right之间是否对称。首先left和right结点的val要相同②，否则不对称；然后left的左子树③要与right的右子树③对称，并且left的右子树④要与right的左子树④对称；于是问题转化为left的左子树③要与right的右子树③对称，并且left的右子树④要与right的左子树④对称。而要判断left的左子树③与right的右子树③是否对称与初始的问题：判断left子树②与right子树②是否对称是相同的原理。即问题总是判断2棵子树是否对称：而要判断2棵子树是否对称的逻辑都是一样的，就是判断这2个子树的根结点值是否相同&&left的左子树与right的右子树是否相同&&left的右子树与right的左子树是否相同。即给定2棵树就可以判断其是否对称，不需要管这2棵树是否是相连于同一个结点（例如结点②和结点②都相连于①）或者是相互远离的（例如结点③和结点③相互远离）。显然判断一棵树是否对称即判断它的2棵子树是否对称，而判断2棵子树left和right是否对称依赖于判断left.left和right.right是否对称并且left.right和right.left是否对称。设计一个递归方法，该方法用于输入2个树的根结点，然后判断这2棵树是否对称并返回true和false.

递推关系：if(process(left.left，right.right)==true&&process(left.right，right.left)==true){returntrue;}

边界条件：

if(left==null&&right!=null)returnfalse;

if(right==null&&left!=null)returnfalse;

if(left==null&&right==null)returntrue;

if(left.val!=right.val)returnfalse;

这个递归非常巧妙，并不是基于后序遍历的改造而是一个全新的逻辑，但是都是利用了初始条件+递推关系的方式来解决问题，对于递归，需要多看多理解多练习多感悟。//判断一棵树是否对称：即判断2棵子树是否对称，递归：判断2组共4棵树是否对称

巧妙：

publicclass Solution {

    boolean isSymmetrical(TreeNode pRoot){

       //特殊输入

        if(pRoot==null) return true;

       //调用方法解决问题

        return this.process(pRoot.left,pRoot.right);

    }

   

   //建立一个递归的方法：输入一个根结点，判断这棵子树是否对称

    private boolean process(TreeNodeleftTree,TreeNode rightTree){

       //边界条件

        if(leftTree==null) returnrightTree==null;

        if(rightTree==null) returnleftTree==null;

       

       //如果2子树不为null,那么先看值是否相同

        if(leftTree.val!=rightTree.val) returnfalse;

       

     //此时2个子树的值相同，判断这2棵树是否对称依赖于判断它的4棵子树是否满足2组对称条件

        booleanres1=process(leftTree.left,rightTree.right);

        booleanres2=process(leftTree.right,rightTree.left);

        return res1&&res2;

    }

}