傅里叶变换的学习

                   ~~~~~~~~~~~~~~~~~~                   傅里叶变换的学习

作者：闻豪
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2017211202班

摘要

       ~~~~~~       应老师之邀，在此研讨傅立叶的主要贡献，以及傅立叶级数的发展历程，以及如今傅立叶级数的主要应用。

正文

       ~~~~~~       傅里叶(1768年3月21日－1830年5月16日)是法国著名数学家，物理学家，主要贡献是提出傅里叶级数，并将其应用于热传导理论与振动理论。傅里叶极度痴迷热学，并通过数学方法将这个难以捉摸的问题解决到极致。傅里叶经过数学分析，首先得出来地球大气层具有温室效应。他认为热能包治百病，为了治愈自己的疾病，1830年的夏天他穿上厚厚的棉衣，在自家的火炉旁安详而去。

       ~~~~~~       傅里叶在研究热的传导的过程中，根据物理原理推导出了如下三维热传导方程：
$$\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial z^2}=k^2\frac{\partial T}{\partial t}$$
在简化的一维空间中，问题简化为解如下方程：
$$\{\begin{array}{r}\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}=k^2\frac{\partial T}{\partial t}\\ T(0,t)=0\\ T(x,0)=f(x)\end{array}$$
为了满足初始条件，一定有$f(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_{n}sin\frac{n\pi x}{l}$。经过分析，傅里叶得出结论：任何函数都可以表示为如上形式。于是便有了我们常使用的傅里叶级数的一般表达式：
$$f(t)=a_0+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}cosn{\omega }_{1}t+b_{n}sinn{\omega }_{1}t)$$
其中$a_0,a_n,b_n$由如下公式给出
$$a_0=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)dt$$
$$a_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)cosn{\omega }_{1}tdt(n=1,2,3...)$$
$$b_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)sinn{\omega }_{1}dt(n=1,2,3...)$$
并且由欧拉公式代换后，更可写成更优美的指数形式：
$$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }F(n{\omega }_1)e^{jn{\omega }_{1}t}$$其中$F(n{\omega }_1)=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)e^{-jn{\omega }_{1}t}dt$

       ~~~~~~       在对傅里叶级数的研究中，复杂的周期函数可以用一系列简单的正弦、余弦波之和表示。傅里叶是在解决一个实际问题的过程中推导出的傅里叶级数，我们事后从数学的角度亦能看出其原理所在。

       ~~~~~~       正如一个三维矢量可以用x,y,z轴方向的单位分量来表示，任何一个信号f(t)都能用一组正交基底函数来逼近，这一组函数{${\phi }_n$}具有如下关系：
$${\int }_{t_1}^{t_2}{\phi }_m(t){\phi }_n(t)dt=\{\begin{array}{rc}0& m=n\\ 1orK& m̸=n\end{array}$$

逼近后，$f(t)$即表示为：
$$f(t)\approx C_1{\phi }_1(t)+C_2{\phi }_2(t)+C_3{\phi }_3(t)+...+C_n{\phi }_n(t)$$
其中，C₁、C₂…的计算方法为：
$$C_r=\frac{{\int }_{t_1}^{t_2}f(t){\phi }_r(t)dt}{{\int }_{t_1}^{t_2}{\phi }_r^2(t)dt}(r\le n)$$
若正交函数${\phi }_r(t)$为复函数，则相关系数为：
$$C_r=\frac{{\int }_{t_1}^{t_2}f(t){\phi }_r^{\ast }(t)dt}{{\int }_{t_1}^{t_2}|{\phi }_r{|}^2(t)dt}(r\le n)$$
$C_r$的计算就如同计算一个二维向量在另一个的分量，解释从略。三角函数集{$cos(n\omega ),sin(n\omega )$}是我们常用的正交函数集，傅里叶级数正是满足狄里赫利条件的函数用之表示的。

       ~~~~~~       傅里叶变换是对傅里叶级数的扩展，由它表示的函数的周期趋近于无穷。傅里叶变换在医学、数据科学、物理学、声学、光学、结构动力学、量子力学、数论、组合数学、概率论、统计学、讯号处理、密码学、海洋学、通讯、金融等领域都有着广泛的应用。

       ~~~~~~       傅里叶变换在通信领域发挥着重要作用。通过傅里叶变换，将信号从时域分析转到频域，可以极大方便信号的卷积运算。周期信号的傅立叶变换方法如下：
$$F_T(\omega )=2\pi \sum _{n=-\infty }^{\infty }F(n{\omega }_1)\delta (\omega -n{\omega }_1)$$
其中$F(n{\omega }_1)=\frac{1}{T_1}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-jn{\omega }_{1}t}dt$。

非周期信号的傅里叶变换如下：
$$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt$$

       ~~~~~~       至此，已经能将信号从时域转换至频域，接下来通过连续信号的幅度调制与解调的过程来说明傅里叶变换的作用。

       ~~~~~~       调制信号$g(t)$传入，和载波信号$c(t)=cos({\omega }_{0}t)$进行相乘，得到已调信号$f(t)=g(t)cos(\omega t)$，随后，再将解调信号$cos({\omega }_{0}t)$与$f(t)$相乘，得到$g_0(t)=g(t)co{s}^2({\omega }_{0}t)$，最后通过低通滤波器就完成了解调。解调过程如下：

已知$$g_0(t)=\frac{1}{2}g(t)+\frac{1}{2}g(t)cos(2{\omega }_{0}t)$$
对其进行傅里叶变换，可得：
$$G_0(\omega )=\frac{1}{2}G(\omega )+\frac{1}{4}G(\omega -2{\omega }_0)+\frac{1}{4}G(\omega +2{\omega }_0)$$
$g_0(t)$的低频信号$\frac{1}{2}G(\omega )$就是原信号的频谱函数$G(\omega )$的$\frac{1}{2}$，接下来只需要通过一个低通滤波器即可提取出处于低频的原信号。

       ~~~~~~       此上是傅里叶变换在信号处理中的简单应用。我仍然需要深入学习才能将这理论的知识应用于实践。

致谢

       ~~~~~~        407不怪我熬夜挑灯写论文的小伙伴们。

参考文献

1. 维基百科：傅立叶变换 https://zh.wikipedia.org/wiki/傅里叶变换
2. 维基百科：傅立叶 https://zh.wikipedia.org/wiki/约瑟夫·傅里叶
3. 郭玉翠《数学物理方法》，大连理工出版社，2010年8月第1版
4. 吕玉琴，俎云霄，张建明《信号与系统》，高等教育出版社，2014.2
5. 维基百科－－LaTeX数学符号表示法：https://en.wikibooks.org/wiki/LaTeX/Mathematics