经典算法的平均复杂度分析

改进的冒泡排序

由于没有改变相邻逆序对互换的本质，数组内平均有$n^2$的逆序对就决定了算法必然复杂度为$\mathrm{O}(n^2)$

Quick Sort

设排好序的序列为Z[1:N],则认定指标随机变量如下：

$X_{ij}=I\{Z_i与Z_j在QS的过程中发生了比较\}$
设算法时间复杂度为$T(n)$,则有：
$$\begin{array}{rl}T(n)=& E[\sum _{i<j}{X}_{ij}]\\ =& \sum _{i<j}E[X_{ij}]\\ =& \sum _{i<j}PR\{Z_i与Z_j比较的概率\}\end{array}$$
而$Z_i与Z_j$会不会进行比较需要看算法是如何进行的，在QS中即是看pivot如何选：

1. 若pivot选择$[Z_1,Z_i)\bigcup (Z_j,Z_n],则对它们比不比较没有影响$
2. 若pivot选择$Z_i和Z_j$则它们必会比较
3. 若pivot选择$(Z_i和Z_j)$则它们必不会比较

将不影响结果的区间去除，那么$Z_i与Z_j$进行比较的概率即是$\frac{2}{j-i+1}$
于是结果即是：
$$\begin{array}{r}\sum _{i<j}\frac{2}{j-i+1}\in \mathrm{O}(nlogn)\end{array}$$

闭哈希查找

失败查找

设哈希表大小为m，内有n个元素

因为失败查找一定会将链长全部走完，因此若记$\frac{n}{m}=\alpha$（平均链长）则有：
$$\begin{array}{r}T(n)\in \Theta (1+\alpha )\end{array}$$

成功查找

设哈希表大小为m，内有n个元素，将表内元素按入表顺序排序,排好的序列记为Z[1:n]，算法的时间复杂度为T(n),则有：
$$\begin{array}{rl}T(n)=& \frac{1}{n}\ast \sum _{i=1}^n(1+\sum _{j=i+1}^n\frac{1}{m})\\ =& 1+\frac{1}{n}\ast \sum _{i=1}^n\frac{n-i}{m}\\ =& 1+\frac{1}{nm}\ast \sum _{i=1}^n(n-i)\\ \in & \Theta (1+\frac{n^2}{nm})\\ \in & \Theta (1+\frac{n}{m})\end{array}$$
若记$\frac{n}{m}=\alpha$则有：
$$\begin{array}{r}T(n)\in \Theta (1+\alpha )\end{array}$$

开哈希表查找

有点过于复杂…懒得写出来了，大概意思与闭hash差不多，平均查找长度的求解涉及太多了，全是gay论