DP入门总结

前言

学习dp也有一段时间了，从刚开始连理解背包都难以做到，到现在已经能独立地写一些不算复杂的dp题目，对于dp有了一点自己所谓的理解，在此处写下纯粹是对于自己想法的梳理，可能不够成熟，甚至有很多纰漏，请谨慎理解。

DP状态论（个人瞎逼逼）

何为DP？
    dynamic programming，中文译为动态规划，本质是为了解决策略过程最优化的一种数学方法，这边的过程是个人觉得最重要的部分：

    在初次接触dp的时候（背包问题），个人最大的疑惑便是看不懂它为啥能过通过处理[0 <= x <= V]范围内所有的背包解决问题，他这些中间大小的背包到底起到了啥作用。

    之所以我刚开始理解不了，很大的原因是我本人缺乏思考，在很多题目之上，我只会去想起点：问题所给出的条件和终点：我要求的答案，对于中间的过程量完全不重视，但dp过程中过程量是十分重要的，和简单的递推一样，你只有先得到中间量，才能继续往后推。

    解决dp问题的方式和解决分治，递推之类题目的方式十分相似，就是把一个问题转化几个子问题，然后解决了子问题就能推倒出这个问题的答案，很多奆佬们就是这么解释dp的，刚开始是个纯萌新的我对于理解这种说法感到压力山大，现在的我能理解，但不太喜欢这么表述，下面我将尝试用自己的理解来讲讲dp。

DP最重要的是什么？
    个人认为状态转移方程是dp问题中最重要的东西，当你推导出正确的状态转移方程，你就可以很简单地写出能够ac的代码，而对于状态的理解则是推倒出状态转移方程的关键。

    那么状态是啥？打个比方：背包dp里面的状态——考虑i个物品时体积为j的背包的最优情况，考虑了n个物品和小于等于m的所有体积的背包；一般区间dp里面的状态——范围为[i,j]的区间的最优情况，考虑了表示区间范围最常用的元素，左边界和右边界。

    简单来说，状态可以看做一个包含所有元素的结点，就像你写一个结构体，给里面添加上所有必要的要素，该状态下的最优解，我们一般都用数组表示，几个必备要素就开几维，还方便访问。且状态必须要有以下几点。

1.状态是有起点的
    有起点你才能推过程，就像背包问题0体积的背包，区间dp的单点权值等等。

2.状态是可以转移的
    根据题目给出的条件，你可以找到转移的条件，背包问题的物品，区间问题改变区间的方式等等。

3.状态无后效性
    即已经确认的最优状态，在后续的状态转移中不会再回到这个状态，并对答案造成影响。

4.状态是有限的
    在时间复杂度和空间复杂度的范围内有限，可以全部表述清楚，（空间上常用滚动数组之类的操作优化，时间上背包有单调队列优化，部分区间dp有四边形不等式优化等等，懂的少，不多逼逼）。

最后总结
    dp是一个需要时间思考和不断刷题才能提升的专题（可能只有蒟蒻我是这样的，感觉平常刷题学到的一些东西很有用，有时候看到新题就感觉老题目的模型改改就好了），以及他还需要一点灵性，将问题的模型转变为简单的dp问题。

一些问题模型的总结

“降维”

    最开始接触这个词，是从dp求最大矩阵的过程中学到的，把矩阵进行一个nnm的预处理后，就可以简单的贪心求结果了。（此处的降维不是指滚动数组的降维，是个人理解的把题目模型化简，改变本质的一种降维。）

    1.LIS的 O(nlogn)复杂度的算法，本质上是从暴力dp降维成了简单的二分贪心
例题：P1020 导弹拦截（经典例题，无需多言）
例题：P1233 木棍加工（二维转一维，然后就变成了LIS模板题）

    2.简化问题，分解模型（范围太广，不知道怎么归类，比较看灵性的兄弟）
例题：P1388 算式（神仙题目，单纯插入*法的做法是个假dp，看完题解发现先枚举加号和乘号位置就转化成了一个简单的区间dp，但测试样例好像有bug）

字符串

    字符串的题目很多，简单的基础dp的字符串转变，匹配；简单的字符串dp。难的有字符串匹配加dp（用到ac自动机啥的）。

    1.删减添加的字符在一般dp中可以看做从[i-1][j]或者[i][j-1]中传递状态而来(如果限制首尾同样适用于区间dp)。
例题：P1140 相似基因（看做简单的添加字符）
例题：P1435 回文字串（隐藏条件加头尾）

    2.修改一个字符可以看做从[i-1][j-1]（仅限于字符变化题目）
例题：P2758 编辑距离（裸题）

输出路径

    1.按照题意，贪心输出即可。
例题：P1281 书的复制（找出最小值之后从尾到头贪心输出即可，就遇到一次）

    2.设置bool数组或者int数组进行回溯，一种直接记录物品，一种对物品设置true的标记。
例题：P1759 通天之潜水（二维背包路径回溯）
例题：P2066 机器分配（直接记录物品数量）

树形dp换根法

    dp出必要值之后，从全局换根即可，很骚的操作，但很好用。
例题：P1364 医院设置（这题数据太小，但动态转移方程好写，可以试手）

最大全1方矩阵

    拿右下角符合条件的1判一次[i-1][j-1]、[i-1][j]、[i][j-1]即可，只要把题目模型转换出来即可（难点）。
例题：P1387 最大正方形（裸题）
例题：[USACO5.3] 巨大的牛棚Big Barn（裸题）
例题：P1681 最大正方形II（简单变形）

双重DP

    在dp第一个东西的同时，在第一个dp的条件下dp第二个东西。
例题：P1509 找啊找啊找GF（01背包）

前缀和

    1.除了简单的权值前缀和，我们可以对两个元素取值1与-1，用前缀和实现绝对值的计算，也可以把较少的元素hash完后变成异或前缀和，利用异或前缀和的性质，完成一些题目。
例题：P1564 膜拜（1与-1，算绝对值）
例题：P2697 宝石串（1与-1，区间和为0）

    2.二维前缀和对于一些固定大小的矩阵题十分有用，而且便于入门。
例题：P2004 领地选择（裸题）

差分

    1.线性差分的经典运用便是区间涂色问题。
例题：P2434 [SDOI2005]区间

    2.二维差分是一种操作很简便的解决矩阵区间变化的题目。
例题：P5542 [USACO19FEB] Painting The Barn S（裸题）

求变化的背包体积

    目前遇到的都是当天可变，所以直接日结即可，分解为多个完全背包。
例题：P1853 投资的最大效益
例题：P5662 纪念品

拓扑排序

    一些树上问题，利用拓扑排序的无后效性来做非常合适。
例题：P2196 挖地雷（这题其实可以不用拓扑排序，因为按矩阵处理已经无后效性了，但也可以用拓扑写）
例题：P3183 [HAOI2016]食物链（细节，注意成链即可）

取模

    一些题目可以通过取模实现状态有限化。
例题：P2946 [USACO09MAR]Cow Frisbee Team S（裸题）
例题：P2049 魔术棋子（裸题）

还有之前很多没在洛谷刷的题目没放上来，这里值算了真普及组我觉得做的一些小收获，之后再整理之前的一些dp题目，路漫漫其修远兮。