蒙特卡罗（洛）方法及其在布丰投针试验中的应用（一）

何为蒙特卡罗方法

蒙特卡罗并不是一个人名，而是一座袖珍的赌城，蒙特卡罗方法不是一种具体的模型或者算法，而是一种解决多样问题的近似处理办法，其思想与概率论中的大数定理类似，即当样本容量⾜够⼤时，事件的发⽣频率即为其概率。

布丰投针试验

1）在一张空白纸上画许多条间距为a的平行线;
2）取长度为l（l 3）计算针与平行线相交的概率m/n。
解决问题的数学原理如下图所示：

最后通过概率相等，即$$\frac{2\mathrm{l}}{\pi \mathrm{a}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}$$求出$\pi$的近似值$$\pi =\frac{\mathrm{m}\mathrm{a}}{2\mathrm{n}\mathrm{l}}$$

matlab代码

用数字模拟单次布丰投针试验并作出图案

设置数学原理中涉及的各个参数

l = 0.5;  %针的长度
a = 1.2; %行与行间距
n = 100000; %投针次数
m = 0; %记录相交次数
x = rand(1,n) * a/2; %随机生成n个[0,a/2]内的数作为针的中点与最临近直线距离
phi = rand(1,n) * pi; %随机生成n个[0,π]内的数作为针与临近直线的夹角φ
 axis([0,pi, 0,a/2]); %做出横坐标为[0,π],纵坐标为[0,a/2]的平面坐标系

应用循环开始试验

for i = 1:n; %在[1,n]区间内生成差值为1的等差数列，即循环n次，重复n次试验
  if x(i) <= l/2 * sin(phi(i)); %判断针与直线是否相交
  m = m+1; %相交次数加1（相当于计数器）
  plot(phi(i),x(i),'r.'); %以phi为横坐标，x为纵坐标绘图
  hold on; %在原有基础上继续打点（若不加最终结果只有一个点）
  end;
end;    

计算概率并输出

p = m/n; %算得概率
mypi = (2 * l)/(a * p); %根据公式计算出π
disp(['蒙特卡罗方法得到的pi为',num2str(mypi)]); %输出结果

求得的近似值和图像

多次试验求平均值

由于试验次数有限以及在一次实验中投针次数有限（实则是计算机性能限制），求得π的值有偏差，我们进行多次试验。

代码

result=zeros(100,1); %形成容量为100的初始化矩阵
l = 0.5;  
a = 1.2; 
n = 100000;
for num = 1:100;
m = 0; 
x = rand(1,n) * a/2; 
phi = rand(1,n) * pi; 
 for i = 1:n; 
  if x(i) <= l/2 * sin(phi(i)); 
  m = m+1; 
  end;
 end;    
p = m/n; 
mypi = (2 * l)/(a * p); 
result(num) = mypi; %试验结果存入矩阵
end;
meanpi = mean(result); %求100次试验均值
disp(['蒙特卡罗方法得到的pi为',num2str(meanpi)]);

结果