图论——解决最小生成树问题(Kruskal算法&Prim算法)
上周末的蓝桥杯省模拟赛时最后一题是一道最小生成树的题目，因为恰好在慕课上刚看到这个地方，所以现学了Prim算法，解决了这个题目(大概)，赛后就打算多琢磨琢磨这一类题目。题目链接
最小生成树问题，是指给定无向图G=(V,E)，连接G中所有点，且边集是E的子集的树称为G的生成树(Spanning Tree)，而权值最小的生成树称为最小生成树(Minimal Spanning Tree，MST)。
一、Kruskal算法
Kruskal算法易于编写，且效率很高
紫书p356描述如下：
Kruskal算法的第一步是给所有边按照从小到大的顺序排列，这一步可以直接使用库函数qsort或者sort。接下来从小到大依次考察每条边(u, v)。
- 情况1：u和v在同一个连通分量中，那么加入(u, v)后会形成环，因此不能选择。
- 情况2：如果u和v在不同的连通分量，那么加入(u, v)一定是最优的。 为什么呢？下面用反证法——如果不加这条边能得到一个最优解T,则T+(u, v)一定有且只有一个环，而且环中至少有一条边(u’, v’)的权值大于或等于(u, v)的权值。删除该边后，得到的新树T’ = T + (u, v) - (u’, v’)不会比T更差。因此，加入(u, v)不会比不加入差。
下面是伪代码：
把所有边(按权值)排序，记第i小的边为e[i](1 <= i < m)
初始化MST为空
初始化连通分量，让每个点自成一个独立的连通分量
for(int i = 0; i < m; i++) {
if(e[i].u 和 e[i].v 不在同一个连通分量) {
把边e[i]加入MST
合并e[i].u和e[i].v所在的连通分量
}
}
在上面的伪代码中，最关键的地方在于 “连通分量的查询与合并” ：需要知道任意两个点是否在同一连通分量中，还需要合并这两个连通分量。
有一种简介高效的算法可以用来处理这个问题——并查集
此处指路大佬解释：超有爱的并查集~
将每个连通分量看作一个集合，该集合包含了连通分量中的所有点。这些点两两相通，而具体的连通方式无关紧要。在图中，每个点都恰好属于一个连通分量，对应到集合表示中，即为每个元素恰好属于一个集合。换句话说，图的所有连通分量可以用若干个不相交集合来表示。
奉上自己的并查集板子
#include 有了并查集之后，Kruskal算法的完整代码便不难给出了。假设第i条边的两个端点序号和权值分别保存在u[i]，v[i]和 w[i]中，而排序后第i小的边的序号保存在r[i]中(间接排序，即排序的关键字是对象的“代号”，而不是对象本身),p为并查集
完整代码：
int cmp(const int i, const int j) { return w[i] < w[j]; } //间接排序函数
int find(int x) { return p[x] == x ? x : p[x] = find(p[x])} //并查集的find
int Kruskal() {
int ans = 0;
for(int i = 0; i < n; i++) p[i] = i; //初始化并查集
for(int i = 0; i < m; i++) r[i] = i;
sort(r,r+m,cmp);
for(int i = 0; i < m; i++) {
int e = r[i];
int x = find(u[e]);//找出一个端点所在集合编号
int y = find(v[e]);//找出另一个端点所在集合编号
if(x != y) { //若在不同集合，合并
ans += w[e];
p[x] = y;
}
}
return ans;
}
练习题：
| 题号 | 题目名称(英文) | 备注 |
|---|---|---|
| hdu1863 | 畅通工程 | 最小生成树 板子题 |
| hdu1879 | 继续畅通工程 | 最小生成树 板子题 |
| hdu1875 | 畅通工程再续 | 最小生成树 板子题 |
| 洛谷P3366 | 【模板】最小生成树 | 最小生成树 板子题 |
1. hdu1863畅通工程
Problem Description
省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个村庄间都可以实现公路交通（但不一定有直接的公路相连，只要能间接通过公路可达即可）。经过调查评估，得到的统计表中列出了有可能建设公路的若干条道路的成本。现请你编写程序，计算出全省畅通需要的最低成本。
Input
测试输入包含若干测试用例。每个测试用例的第1行给出评估的道路条数 N、村庄数目M ( < 100 )；随后的 N
行对应村庄间道路的成本，每行给出一对正整数，分别是两个村庄的编号，以及此两村庄间道路的成本（也是正整数）。为简单起见，村庄从1到M编号。当N为0时，全部输入结束，相应的结果不要输出。
Output
对每个测试用例，在1行里输出全省畅通需要的最低成本。若统计数据不足以保证畅通，则输出“?”。
#include 2.hdu1879继续畅通工程
这题相比上题来说，就将已经建好了的道路花费置为0即可，同时注意本题输入输出好像都不能用cincout,会超时。
Problem Description
省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个村庄间都可以实现公路交通（但不一定有直接的公路相连，只要能间接通过公路可达即可）。现得到城镇道路统计表，表中列出了任意两城镇间修建道路的费用，以及该道路是否已经修通的状态。现请你编写程序，计算出全省畅通需要的最低成本。
Input
测试输入包含若干测试用例。每个测试用例的第1行给出村庄数目N ( 1< N < 100 )；随后的 N(N-1)/2 行对应村庄间道路的成本及修建状态，每行给4个正整数，分别是两个村庄的编号（从1编号到N），此两村庄间道路的成本，以及修建状态：1表示已建，0表示未建。
当N为0时输入结束。
Output
每个测试用例的输出占一行，输出全省畅通需要的最低成本。
#include 3.hdu1875畅通工程再续
先输入所有顶点，再判断每两个顶点是否可以构成合适的边
Problem Description
相信大家都听说一个“百岛湖”的地方吧，百岛湖的居民生活在不同的小岛中，当他们想去其他的小岛时都要通过划小船来实现。现在政府决定大力发展百岛湖，发展首先要解决的问题当然是交通问题，政府决定实现百岛湖的全畅通！经过考察小组RPRush对百岛湖的情况充分了解后，决定在符合条件的小岛间建上桥，所谓符合条件，就是2个小岛之间的距离不能小于10米，也不能大于1000米。当然，为了节省资金，只要求实现任意2个小岛之间有路通即可。其中桥的价格为 100元/米。
Input
输入包括多组数据。输入首先包括一个整数T(T <= 200)，代表有T组数据。
每组数据首先是一个整数C(C <= 100),代表小岛的个数，接下来是C组坐标，代表每个小岛的坐标，这些坐标都是 0 <= x, y <= 1000的整数。
Output
每组输入数据输出一行，代表建桥的最小花费，结果保留一位小数。如果无法实现工程以达到全部畅通，输出”oh!”.
#include 4.洛谷P3366【模板】最小生成树
板子题
#include 二、Prim算法
来自陈越姥姥的数据结构
Prim算法基本思路——从一个根节点开始，让一棵小树长大。与Dijkstra算法相近。
Dijkstra算法伪代码：
void Dijkstra(Vertex s) {
while(1) {
V = 未收录顶点中dist最小者
if (这样的V不存在)
break;
collected[V] = true;//将V收录
for(V的每个邻接点W) {
if(collected[W] == false && dist[V] + E(V,W) < dist[W]) {
dist[W] = dist[V]+E<V,W>;
path[W] = V;
}
}
}
Prim算法伪代码：
void Prim(Vertex s) {
while(1) {
V = 未收录顶点中dist最小者
if (这样的V不存在)
break;
将V收录进MST
for(V的每个邻接点W) {
if(W未被收录 && E(V,W) < dist[W]) {
dist[W] = E<V,W>;
parent[W] = V;
}
}
}
完整代码
double edge[maxn][maxn];//存边的权值~
int vis[maxn];//该点是否已访问过
double dist[maxn];
double ans;
double Prim() {
for(int i = 2; i <= n; i++) {
dist[i] = edge[1][i];//初始化dist为根结点1到所有点的距离
}
vis[1] = 1;////收录初始点1 vis[i] == 0表示还未被收录
for(int i = 2; i <= n; i++) {
int min = INF;
int v = -1;
for(int j = 2; j <= n; j++) {//找v————未收录顶点中dist最小者
if(!vis[j] && dist[j] < min) {
min = dist[j];
v = j;
}
}
if(v != -1) {//找到了v~收入MST
vis[v] = 1;
ans += dist[v];
for(int j = 2;j <= n; j++) {//更新距离dist
if(!vis[j] && edge[v][j] < dist[j]) {//当这点未被访问且到任意一点的距离比现在到树的距离小就更新
dist[j] = edge[v][j];
}
}
}
}
return ans;
}