圆圈中最后剩下的数

题目

n个数字（0,1,…,n-1）形成一个圆圈，从数字0开始，每次从这个圆圈中删除第m个数字（第一个为当前数字本身，第二个为当前数字的下一个数字）。当一个数字删除后，从被删除数字的下一个继续删除第m个数字。求出在这个圆圈中剩下的最后一个数字。

解题

约瑟夫环问题
方法一：数组法

public class Solution {
    public int LastRemaining_Solution(int n, int m) {
        if(n<1 || m<1)
            return -1;
        int[] A = new int[n];
        int N = n;// 存放有效元素
        int i = 0;
        int step = 0;// 判断周期
        while(N!=1){
            if(i==n) // 从 0 开始
                i=0;
            if(A[i]!=-1){ // 有效数
                step++;
                if(step==m){ // 恰好是周期点
                    A[i] = -1; // 更新
                    step=0;
                    N--; // 有效数  - 1
                }
            }
            i++;
        }
        // 检测最后剩余的数
        for(int j=0;jif(A[j]!=-1)
                return j;
        }
        return -1;
    }
}

方法二：循环
复制讨论中讲解
如果只求最后一个报数胜利者的话，我们可以用数学归纳法解决该问题，为了讨 论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人 继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新 的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
k k+1 k+2 … n-2, n-1, 0, 1, 2, … k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k –> 0
k+1 –> 1
k+2 –> 2
…
…
k-2 –> n-2
k-1 –> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解： 例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情 况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x’=(x+k)%n。
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]。
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。 因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1。

public class Solution {
    public int LastRemaining_Solution(int n, int m) {
        if(n==0) return -1;

       int s=0;
       for(int i=2;i<=n;i++){
           s=(s+m)%i;
       }
       return s;
    }
}