10.傅里叶变换——更正式的傅里叶变换,频谱,局限性,离散傅里叶变换_4

目录

更正式的傅里叶变换(Fourier Transform)

频谱(Frequency Spectrum)

局限性

离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)


更正式的傅里叶变换(Fourier Transform)

这样做更正式一点,我们将把信号表示成无穷多个正弦信号的加权和。那么傅里叶变换,在这里,在它美丽的荣耀中,在一维中,Okay。

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F(u)是傅里叶变换。我们只是对原函数f(x)进行无穷积分乘以e^{-i2\pi ux}。你可能会说:什么?减去i......来自哪里?这是怎么来的?

再一次,记得你们可能学过的微积分课,e的ik次方是cosk + isink。

 这就是为什么这是偶数部分,那是奇数部分。这是i=\sqrt{-1}

顺便说一下,如果有电气工程师,他们有j=\sqrt{-1}。 我不知道为什么,因为数学家使用 i,我猜电气工程师不喜欢数学家。我们要一直用 i 。

傅里叶变换的作用是,它从空间域

转换到频域,

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频域是写成\omega,有时像你一样写 u, 就像我们在这里做的那样,有时甚至写成 s,当你讨论损失变换之类的时候。这里的意思是这个大写的F是频谱,或者我应该说它是f(\omega )的频率,但是我们等下会讨论它的大小,我们称这个为频谱。

为了完整性,顺便说一下,这里我们有了傅立叶变换(Fourier Transform)。

这里是逆傅立叶变换(Inverse Fourier Transform),

毫不奇怪,如果你告诉我所有的正弦波是什么,如果我把它们全部加起来,好的,在某个位置X,把所有的正弦信号加起来(du),我就能恢复原始信号。S称为逆傅立叶变换。

频谱(Frequency Spectrum)

所以把我们刚刚看到的那些方程式放到一些简单的图片中。我们的频率一般可以被认为是从负无穷大到正无穷大。实部是Cosign部分,它的脉冲看起来像这个,

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 虚部是奇部,它的Sine部分是这样的,

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正如我们之前说过的,通常我们只会担心功率的大小,所以你只需要将正方形的总和搞定就可以了。这就是功率,

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当我把实部和虚部组合成 功率 时,我可以看到不同类型信号的功率谱。这里有一些,我为这张糟糕的图片道歉。这里我们有一个正弦曲线(左图1),我们的正弦曲线只有那里有两个峰值的频率(右图1),对,无论相位如何,根号下的平方和将给我们这两个峰值。

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而且在这里我们有那个方波(左图2),你可以看到功率随着频率的增加而减小(右图2)。

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这就是我们之前演示的,有趣的是,如果你从某种典型的自然图像中取出信号,或者你带走了一大堆典型的自然信号(左图3),你也会发现这些频谱下降了(右图3),这只是从自然图像的角度来看图像是如何形成的。

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局限性

让我们来谈谈这方面的一些限制,这将使我们在一分钟内进入傅里叶级数(Fourier Series)。对于存在的这个积分,这个傅里叶变换,我们实际上并不想要无穷大,对吧?因为这不太好,当我们试着喜欢写下无穷大时,它就要花很长时间。

我们要说的一件事是这整个式子是可积的(如图),

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如果原函数本身是可积的(如图),如果我取这个函数,我实际上必须取它的绝对值。如果我把它从负无穷大加到无穷大,它就不会爆炸,它必须被限制为一个值。

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你可能会问:“等一下,我认为我们有无穷的循环级数。”我们讲傅里叶级数的时候讲过。我们现在讨论的是傅里叶变换,我们试图使它保持一定的界限。所以这些积分必须存在。它是基于同样的原理,但它的理念,在傅里叶级数(Fourier Series)中,我们讨论过了循环函数。在傅里叶变换(Fourier Transform)中我们讨论的是积分,可积函数。

一分钟后,当我们有一个固定长度的函数,它就很清楚了。事实上,我们现在就来看看(如图)。

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你看到它说,显然如果有一个宽度为T的边界。对吧,如果所有的函数都在T范围内,那么显然我可以从- T / 2积分到+ T / 2,对吧? 这就是整个积分。这将引导我们,至少在我扭曲的头脑中,得到离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)的概念。

离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)

离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)是我们想要在计算机中开始工作时必须要做的事情,因为毕竟我们没有连续信号,我们只有离散值。所以离散傅里叶变换就是这样写的。

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 现在我们说F (k)这里的 k 是离散频率,对吧?我们要做的是对所有像素求和,

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所以我们得x来自信号,在这种情况下是x=N-1,从0到N-1,如果总共有N个,

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这里是 \frac{1}{N} ,

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现在是e的- i次方,看到k / N了吗?

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因为基本上,我们不把频率看作是它在时间上摆动的速度,而是在图像的整个长度上摆动的速度。所以,k被写成,它是信号每一周期的周期数,或者图像每一周期的周期数,对吧?  Cycles per image. 这只有从0到N / 2才有意义。为什么只有N / 2?

好吧,想想正弦曲线在N个像素的图像中摆动的速度有多快,对吧?它会变成白色,一直到黑色,一直到白色,一直到黑色......所以周期是2。所以频率,循环次数,应该是N / 2。基本上,k只能从 -N / 2到 +N / 2,因为这是你在离散图像中可以拥有的最高频率。


——学会编写自己的代码,才能练出真功夫。

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