关于数值分析

研究生时，极其不喜欢数值分析，觉得太抽象。

结果研究生也没研究出什么，没有能够用好数学这个工具，这也成了心里一个结。

毕业多年后，翻出数值分析课本，慢慢啃。后面又买了两本教材，一年后看明白了。朋友问，有什么用？没有，就是想搞清楚。

在这里建座楼，希望大家能少走点弯路。

第一本书

图片发自App

第二本

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数值分析，用简单、可重复的办法来计算复杂的问题。

数字分析能有什么用？解各种各样没无法用解析方法求解的数学问题。

现实生活中能象一元二次方程这种有现成的公式来解的题很少很少，大多数问题只能通过不断尝试、用逼近的方法来求解，求解方程、方程组、矩阵特征值和特征向量、数值微分、数值积分。。。

在学校时，老师说过，要学好数学，做研究有用。现在有了更深刻的理解。

现实世界太复杂，要研究它就得有一个切入点，必须进行简化，建立数学模型才能进行量化处理。

复杂的世界要建立复杂的模型，没有公式可以马上解出结果，只能通过简化、逼近来解。

Elron Mask和查理。芒格都说过第一性原理。个人理解数值分析的第一性原理是级数展开，及误差分析。

第一个目标是计算要简便，第二个目标是误差。

数值分析就是在计算量和误差之间进行平衡。

资源是有限的，要解决的问题太多。

随便找一本MATLAB教材，都会有现成的优化算法，确定目标函数、约束条件、变量，就可以用现有的算法求解，但遇到美团这种大规模实时路径优化问题，就得动脑筋想想如何实现。

按个人理解，数值分析按以下结构组织比较容易理解:

插值与拟合，从一堆数据中计算得到一个或一组公式，从不同角度来表示数据背后潜在的规律。

拉格朗日插值:原理上最简单的插值方法，有多少个原始数据点，就生成多少个线性方程。优点是容易理解，缺点是计算的工作量大，高阶方程计算慢，而且每次新增一个数据点必须全部重新算。

为了解决新增数据点不必重算的痛点，出现了牛顿法。按差方的原则，多一个点就多计算一次差方。

拉格朗日和牛顿法没有考虑插值点处微分的问题，出现了hermite插值法，兼顾数据和微分。

直观的考虑是插值时数据点取得越细，插值的精度越好。事实上研究发现了RUNGE现象，过分多的插值点增加了计算量的同时，反而误差变大。

所以实际上不强求过多的插值点，多用二阶Hermite插值。

为了算出平滑的曲线，不仅要求曲线连续，一阶微分连续，还要求二阶和三阶微分连续，相应出现了Spline插值。

解非线性方程

现实生活中绝大多数方程难以得到解析解，需要由数值计算的方法解。

高斯消元及其变形解方程组

高斯消元是求解方程组的基础，由其派生出最大元发法，杜立特法等针对不同特性方程简化解法。

迭代法解方程组

数值积分

同解非线性方程一样，现实中多数积分无法得到解析解，需要用数值分析方法。

最基础的是梯形法，用大量梯形面积和来拟合实际要求的解。

为提高精度，采取增加中间点的方法求解，派生出辛普生法，等

为了实现机械计算，出现了牛顿法积分。

数值微分

作为积分的对偶问题，有数值积分，就有数值微分，思路想同。

求矩阵特征值

解微分方程

欧拉法

单点法  荣格库塔法

多点法