线性代数 矩阵及其运算
一．数学概念
在数学中，矩阵（Matrix）是指纵横排列的二维数据表格
定义1.1 由 个数 排成m行n列的数表
称为m行n列的矩阵，简称 矩阵，记作
1．单位矩阵
在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的1,我们称这种矩阵为单位矩阵．它是个方阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1以外全都为0。对于单位矩阵，有AE=EA=A
二．原理，公式和法则
1．矩阵的加法在数学里，矩阵加法一般是指两个矩阵把其相对应元素加在一起的运算。
1．矩阵的加法
(1) 公式
(2) 运算律
A + B = B + A
A + B + C = A + ( B + C )
A + (-A) = 0
A + 0 = 0
2．数乘矩阵
一个矩阵乘上一个数等于矩阵的每个元素乘上这个数
(1) 公式
(2) 运算律
λA = Aλ
(λμ)A = λ(μA)
(λ+μ)A = λA+μA
λ(A+B) = λA+λB
3．矩阵与矩阵相乘
(1) 设A = (aij)是一个m*s矩阵，B = (bij)是一个s*n的矩阵那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m*n的矩阵C = (cij)
并把此乘积记作C=AB
将矩阵A对应i行上的每一个元素*矩阵B上的对应i列上的每一个元素相加就得到矩阵C的Cij元素的值
两矩阵相乘的前提条件：“第一个矩阵的行数 = 第二个矩阵的列数”
通过下面一个销售统计的一个计算过程，有助于我们理解矩阵相乘的概念：
(2) 运算律(假设运算都是可行的)：
1)结合律：ABC = A(BC）
2) 数与矩阵乘法的结合律：λ(AB) = (λA)B = A(λB) (其中λ是常数)
3)左分配律：A(B+C) = AB+BC
右分配律： (A+B)C = AC+BC
4) 对于单位矩阵Em，容易验证：
EmAm*n = Am*n， Am*n*Em = Am*n
也就是：AE = EA = A
(3) 注意：
矩阵的乘法与通常数的乘法有很大区别，特别应该注意的是：
1)矩阵乘法不满足交换律，一般来讲即便AB有意义，BA也未必有意义；
2) 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即AB=0未必能推出A=0或者B=0；
3）如果AB=AC并且A≠0未必有B=C；