模式识别与机器学习（一）：概率论、决策论、信息论

本系列是经典书籍《Pattern Recognition and Machine Learning》的读书笔记，正在研读中，欢迎交流讨论。

基本概念

1. 模式识别（Pattern Recognition）：是指通过算法自动发现数据的规律，并进行数据分类等任务。

2. 泛化（generalization）：是指对与训练集数据不同的新样本进行正确分类的能力。（模式识别的主要目标）

3. 分类（classification）：将输入数据分到有限个数的类别中。

4. 回归（regression）：预测输入数据对应的输出值，该输出值由一个或多个连续变量的值组成。

5. 强化学习（reinforcement learning）：在给定的环境或条件下，找到合理的步骤或操作使奖赏最大化。

其特点之一是：在发现新的操作（exploration）和利用现有操作（exploitation）之间进行权衡 。

6.线性模型（linear models）：只包含线性的未知参数的模型，例如多项式就是线性模型。

7. RMSE（Root-Mean-Square Error，均方根误差）：观测值与真实值的偏差的平方和与观测次数之比的平方根。 （可以反映预测的准确性）

   

8. 在多项式曲线拟合中，多项式的阶数越高，参数的值也会越高。

当阶数过大时，将导致过拟合，此时参数的值非常大（正值）或非常小（负值），使拟合曲线出现很大的振荡。

解决过拟合的方法之一是：正则化，避免参数值过大或过小。 正则化参数（惩罚项）越大，参数值越小。

正则化参数过小，不能解决过拟合问题；正则化参数过大，将导致欠拟合。

9. 优化模型复杂度：使用验证集，交叉验证等等。

概率理论

模式识别中的不确定性（ uncertainty）一方面由于数据集的大小有限，另一方面是由于噪音。

概率规则：

加法规则（sum rule）：

     （marginal probability，边缘概率）

乘法规则（product rule）：

   （joint probability，联合概率）

1 贝叶斯理论（Bayes's theorem）:

边缘概率可用加法规则计算：

先验概率（prior probability）：某个类发生的概率（主观）。

后验概率（posterior probability）：给定输入数据，其被分到某一类的概率。

2 期望与方差

条件期望（conditional expectation）=函数值 x 函数值发生的概率：

方差（variance）：函数值和期望值的偏差的平方的期望值

对照：

                                                          

协方差（covariance）：

3 贝叶斯学派 vs. 频率学派

频率学派认为：参数 w虽然是未知的， 但参数值是固定的，所以重点在于求取似然函数 。

而贝叶斯学派认为： 参数w的值不是固定的，参数本身存在概率分布，而数据集（观测值）是固定的。

4 贝叶斯方法

在多项式曲线拟合中，我们 假设似然函数和先验分布服从高斯分布：

似然函数：

先验分布：

在训练集中通过最大化后验分布（MAP）求参数值：

等价于最小化以下公式：

该公式等价于正则化的误差函数平方和公式：

正则化参数等价于：

（MAP中已经包含了正则化项，也能解决over-fitting的问题）

5 预测分布（predictIve distribution）

在测试集中，预测分布为：

模型选择

交叉验证：

（1）S-fold cross-validation：将数据集分成S份，取其中的一份作为验证集，剩下的S-1份作为训练集；验证S次，每次取一份不同的验证集。

（2）leave-one-out：没份数据集刚好只有一个数据，适用于数据集稀少的情况。

不足：（1）训练次数随着S的取值增加，而某些情况下训练一次的计算开销就很大；

           （2）不同参数的组合设置将可能导致训练次数的指数级增加。

The Curse of Dimensionality

（1）计算复杂度；

（2）不是所有低维空间的直观都能泛化到高维空间中去。

P(X=x1)是概率质量函数（probability  mass function），当且仅当，X是 离散变量。

P(X=x1)是概率密度函数（probability density function），当且仅当，X是连续变量。

决策理论

1. 最小化误分类率（the misclassification rate）

对于多类情况，则相当于：

2. 最小化期望损失（the expected loss）

不同的错误造成损失的不同，损失矩阵举例：

（矩阵说明：例如第一行“cancer”和第二列“normal”对应的值为1000，表示癌症患者被判定为正常的损失值为1000）

期望损失为：

其中， 表示正确的类，而 表示把属于类k的数据判断为类j的代价。

3. 拒绝选择（the reject option）：

当推理得到的最大后验概率不够大，难以判断时，则应该拒绝进行判断，另行处理（例如：由人工判断）。

4. 推理（inference）和决策（decision）

（1） 生成式模型（generative models）：对联合概率 建模，可通过Bayes定理得到后验概率，再决策。（联合概率有多种用途，例如生成新的近似数据）

（2） 判别式模型（discriminative models）：直接对后验概率 进行建模，一般比生成式模型的性能更好。

（可考虑组合使用生成式和判别式）

（3） 判别函数（discriminant function）：构建直接将输入映射到输出的函数。

（例如，小于x0则属于类A，大于等于x0则属于类B）

判别函数的不足：

（1）若损失矩阵发生改变，则需要重新训练函数；

（2）因为判别函数不涉及概率，不能进行拒绝选择；

（3）若数据集中某一类的概率非常小，则训练得到的判别函数不准确；

（4）若有多个子任务，用判别函数则不能有效组合多个子任务的结果，从而不能有效进行有效的最终结果判断。

信息理论

1. 熵（Entropy）表示了信息的不确定性（随机变量传递的平均信息量）：

若变量x和y相互独立，则信息量h(x)：

出现该信息所对应的联合概率：

则信息量可被表示为：

那么熵则被表示为信息量的期望值：

可证明，当所有信息发生的概率都相等时，熵H最大，且最大值 。

（每个信息出现的概率越不确定，熵的值越大，信息量也越大）

2. 条件熵（conditional entropy）

以离散变量为例证明条件熵公式：

3. 相对熵（relative entropy）和互信息（mutual information）

KL散度（KL divergence）：

其中，q(x)是p(x)的近似分布。

可由Jensen不等式（凸函数的性质）：

  或  

证明：

当且仅当q(x)=p(x)时，KL散度为零。即，KL散度可用于表示两个分布p(x)和q(x)的 不相似性。

若两个变量x，y不相互独立，为了测试其不相互独立的程度，引出 互信息：

当且仅当p(x, y) = p(x)p(y)，即x和y相互独立时，互信息为零。

所以，互信息可用来表示两个变量的独立性，也可表示在给定变量y的情况下，变量x的不确定性的减少量。

（例如：先验分布和后验分布）