近世代数理论基础22：中国剩余定理

中国剩余定理

设R是一个环,是R的理想,对于,若,则称x与y模I同余,记作

当和都是环R的理想时,它们的乘积也是R的理想,且

推广到有限多个理想：设是环R的理想,定义集合为所有的有限和

其中,,,

易证是环R的理想,且

理想互素

设是含幺交换环,为环R的理想,若,则称与互素

由定义,若与互素,则,使得

引理：设R为含幺交换环,和是环R的理想,且与互素,则,,使同时成立

证明：

例：设,且与互素,则理想与互素

由扩展欧几里得算法,,使,取,则,且

,为方程组的解

定理：设R是含幺交换环,是环R的理想,且两两互素,则,,使得,若y也满足这个性质,即,有,则

证明：