算法每日一题（Spanning Tree Removal）

D.Spanning Tree Removal

原题出自：
The 2019 ICPC Asia Shanghai Regional Contest D.Spanning Tree Removal
测试地址
个人题集编号：[A4-2]
日期：[2020年5月3日]
知识点：[无向图、生成树]

题意简述

给定一个由 n 个顶点构成的无向完全图，每次操作选出当前图中的一个生成树并删除（删去树边）。请问最多可以执行多少次操作？每次操作依次删除哪些边？

解题思路

理解题意后发现本题其实问的是最多能找出多少个不相关的生成树（即不重边），显然答案是 n/2（下取整）个，因为 n 个顶点的完全图有 n * (n-1)/2 条边，而每颗生成树有 n -1 条边，故最多有 n/2 个互不相关的生成树。
上述结论只是说最多有，并未说一定有 n/2 个。下面来尝试找一种分配方案使得可以构造 n/2 个互不相关的生成树。
显而易见由于每个点相关的边数是一定的（ n-1 ），最好情况就是每颗生成树最多只用某个顶点 2 条边（出边和入边），起点和终点只用了 1 条边。于是我们就轮流让每个顶点做起点或终点，并找出一条经过所有顶点的链即可。
下面的重点是如何找到一条经过所有顶点的链。如果把这 n 个顶点看作首尾相接的环，即 n 下一个点是 1，1 的前一个点是 n，那么我们的策略可以是“折线”式的，例如：

若起点是 x，则连接方案如下：
x --> x+1
x+1 --> x-1
x-1 --> x+2
x+2 --> x-3
…

这样我们可以保证从 x ~ x+n 所有 n 个顶点都会被访问，并且每个点只经过一次。
显然由于每次起点不同，路径不会经过同一条边。

代码示例

#include
using namespace std;
int n;
void solve(){
	scanf("%d",&n);
	printf("%d\n",n>>1);
	for(int i = 1;i <= n>>1;i++){
		int cur = i, dir = 1;
		for(int j = 1;j < n;j++){
			int nex = (cur-1 + dir*j + n)%n + 1;
			printf("%d %d\n",cur,nex);
			dir = -dir, cur = nex;
		}
	}
}
int main(){
	int t; scanf("%d",&t);
	for(int c = 1;c <= t;c++){
		printf("Case #%d: ",c);
		solve();
	}
	return 0;
}