LeetCode 546 remove boxes移除盒子 dp经典难题

546. 移除盒子

给出一些不同颜色的盒子，盒子的颜色由数字表示，即不同的数字表示不同的颜色。

你将经过若干轮操作去去掉盒子，直到所有的盒子都去掉为止。每一轮你可以移除具有相同颜色的连续 k 个盒子（k >= 1），这样一轮之后你将得到 k*k 个积分。

当你将所有盒子都去掉之后，求你能获得的最大积分和。

示例 1：
输入:

[1, 3, 2, 2, 2, 3, 4, 3, 1]
输出:

23
解释:

[1, 3, 2, 2, 2, 3, 4, 3, 1]
----> [1, 3, 3, 4, 3, 1] (33=9 分)
----> [1, 3, 3, 3, 1] (11=1 分)
----> [1, 1] (33=9 分)
----> [] (22=4 分)

转载来自：https://www.cnblogs.com/grandyang/p/6850657.html

分析：

刷题老司机们都会优先考虑用DP来做吧。既然要玩子数组，肯定要限定子数组的范围，那么至少应该是个二维的dp数组，其中dp[i][j]表示在子数组[i, j]范围内所能得到的最高的分数，那么最后我们返回 dp[0][n-1] 就是要求的结果。

那么对于 dp[i][j] 我们想，如果我们移除 boxes[i] 这个数字，那么总得分应该是1 + dp[i+1][j]， 但是通过分析题目中的例子，能够获得高积分的trick是，移除某个或某几个数字后，如果能使得原本不连续的相同数字变的连续是最好的， 因为同时移除的数字越多，那么所得的积分就越高 ，（尽可能的使分开的相同的数字，连续后一起消掉）。

那么假如在[i, j]中间有个位置m，使得boxes[i]和boxes[m]相等，那么我们就不应该只是移除boxes[i]这个数字，而是还应该考虑直接移除[i+1, m-1]区间上的数，使得boxes[i]和boxes[m]直接相邻，那么我们获得的积分就是dp[i+1][m-1]，那么我们剩余了什么，boxes[i]和boxes[m, j]区间的数，此时我们无法处理子数组[m, j]，因为我们有些信息没有包括在我们的dp数组中，此类的题目归纳为不自己包含的子问题，其解法依赖于一些子问题以外的信息。这类问题通常没有定义好的重现关系，所以不太容易递归求解。为了解决这类问题，我们需要修改问题的定义，使得其包含一些外部信息，从而变成自包含子问题。

那么对于这道题来说，无法处理boxes[m, j]区间是因为其缺少了关键信息，我们不知道boxes[m]左边相同数字的个数k，只有知道了这个信息，那么m的位置才有意义，所以我们的dp数组应该是一个三维数组dp[i][j][k]，表示区间[i, j]中能获得的最大积分，当boxes[i]左边有k个数字跟其相等，那么我们的目标就是要求 dp[0][n-1][0] 了，而且我们也能推出 dp[i][i][k] = (1+k) * (1+k) 这个等式。

那么我们来推导重现关系，对于dp[i][j][k]，如果我们移除boxes[i]，那么我们得到(1+k)*(1+k) + dp[i+1][j][0]。对于上面提到的那种情况，当某个位置m，有boxes[i] == boxes[m]时，我们也应该考虑先移除[i+1,m-1]这部分，我们得到积分dp[i+1][m-1][0]，然后再处理剩下的部分，得到积分dp[m][j][k+1]，这里k加1点原因是，移除了中间的部分后，原本和 boxes[m] 不相邻的boxes[i] 现在相邻了，又因为二者值相同，所以k应该加1，因为k的定义就是左边相等的数字的个数。讲到这里，那么DP方法最难的递推公式也就得到了，那么代码就不难写了，需要注意的是，这里的C++的写法不能用vector来表示三维数组，好像是内存限制超出，只能用C语言的写法，由于C语言数组的定义需要初始化大小，而题目中说了数组长度不会超100，所以我们就用100来初始化，参见代码如下：

dp[i][j][k]: boxes[i] 前有k个数字与其相等时，boxes[i~j]部分的最大分数

解法一：自顶向下，带备忘录的递归

class Solution {
public:
    int removeBoxes(vector& boxes) {
        int n = boxes.size();
        int dp[100][100][100] = {0};
        return helper(boxes, 0, n - 1, 0, dp);
    }
    int helper(vector& boxes, int i, int j, int k, int dp[100][100][100]) {
        if (j < i) return 0;
        if (dp[i][j][k] > 0) return dp[i][j][k];
        int res = (1 + k) * (1 + k) + helper(boxes, i + 1, j, 0, dp);
        for (int m = i + 1; m <= j; ++m) {
            if (boxes[m] == boxes[i]) {
                res = max(res, helper(boxes, i + 1, m - 1, 0, dp) + helper(boxes, m, j, k + 1, dp));
            }
        }
        return dp[i][j][k] = res;
    }
};

解法二：自底向上，动态规划

class Solution {
public:
    int dp[100][100][100];
public:
    /**************自底向上，dp***********/
    int removeBoxes(vector& boxes){
        int n = boxes.size();
        for(int i = 0;i < n;i++){
            for(int k = 0;k <= i;k++){
                dp[i][i][k] = (k + 1)*(k + 1);
            }
        }
        for(int len = 1;len < n;len++){
            for(int i = 0;i < n - len;i++){
                int j = i + len;
                for(int k = 0;k <= i;k++){
                    int res = (k + 1)*(k + 1) + dp[i+1][j][0];
                    for(int m = i+1;m <= j;m++){
                        if(boxes[m] == boxes[i]){
                            res = max(res, dp[i+1][m-1][0] + dp[m][j][k+1]);
                        }
                    }
                    dp[i][j][k] = res;
                }
            }
        }
        return dp[0][n-1][0];
    }
};