2.2.2 定点数的运算（移位、原码和补码的加减乘除、溢出概念和判别方法）

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1.定点数移位运算

• 移位运算：根据操作对象不同分为算术移位和逻辑移位
• 算术移位：有符号数的移位
• 逻辑移位：操作对象是逻辑代码，可视为无符号数

（1）算术移位

• 算术移位规则如下（未溢出、未移出）
  

（2）逻辑移位

• 移位规则：左移右移都是添0

（3）* 循环移位

• 循环移位：分为带进位（CF）和不带进位的循环移位
• 循环移位特点：移出的数据又被移入到数据中
• 循环移位的应用：特别适合将数据的低字节和高子节数据互换
• 移位规则见图：
  

2.定点数加减法运算

（1）原码加减

• 加法：绝对值相加，符号位不变；
• 减法：绝对值大的减绝对值小的数，结果的符号位与绝对值大的数相同。
• 这里的加法运算，其实当两个数符号位不同时就按减法规则算。
• 注意：运算时超出字长，则左边溢出位丢掉。

（2）补码加减

为什么机器中使用补码运算呢？

• 因为补码统一了符号位和数值位，，加法和减法也可以统一处理，只需要加法器，不需要减法器，节省元件，简化了运算器的设计，提高效率。
• 注意：符号位与数值为一起计算，符号位产生的进位丢掉，结果的符号位数值由运算得出。
• 一题搞懂：
  

3.符号扩展

• 符号扩展：有时需要把两种不同位数的数相加，那么就需要统一他们的位数，比如8位和16位数相加，要想得到正确的结果，必须把8位数转换成16位数形式。

（1）正数符号扩展

• 原码=补码=反码：比如8位转16位：+12₍₁₀₎ = 0000 1100 , 转换成16位则为：0000 0000 0000 1100
• 符号位为0，附加为都用0补充

（2）负数符号扩展

比如8位转16位：-12 ₍₁₀₎ = 1000 1100

• 原码：扩展方法与正数符号扩展相同，只不过最高位符号位变为1, 1000 0000 0000 1100
• 补码：附加位补充1，符号位为1，1111 1111 1111 1100
• 反码：附加位补充1，符号位为1，1111 1111 1111 1100

4.溢出概念和判别方法

• 溢出：指参加运算的两个数，相加或相减，运算结果超过了机器字长所能表示的范围
• 正溢出：运算结果大于机器字长所能表示的最大正数
• 负溢出：运算结果小于机器字长所能表示的最小负数

（1）采用一位符号位

• 设A的符号位A_s，B的符号位_s，运算结果符号位S_s , 则溢出逻辑表达式：
  
• 若V=0，表示无溢出
• 若v=1，表示有溢出

（2）采用双符号位

• 采用双符号位比如 S₁S₂，S₁S₂相同则不溢出；S₁S₂不同则溢出，此时最高位代表正确的符号
• ① S₁S₂ = 00：结果为正数，无溢出
• ② S₁S₂ = 01：结果正溢出
• ③ S₁S₂ = 10：结果负溢出
• ④ S₁S₂ = 11：结果为负数，无溢出

5.定点数乘法运算

（1）原码一位乘法

• 运算细则：

1. 被乘数和乘数均取绝对值参加运算，符号位异或运算；
2. 部分积的长度和被乘数一样，取n+1位，初值为0；
3. 从乘数的最低位y_n开始判断；若y_n=1，则高位部分积加上被乘数|x| , 高位部分积然后右移一位；若y_n=0，则高位部分积加上0，高位部分积右移一位；
4. 重复2步骤，判断n次

• 一题搞懂原码一位乘法

（2）补码一位乘法（Booth算法）

• 一种有符号的乘法，采取相加和相减操作计算补码数据的乘积。
• 运算规则：

1. 符号位参与运算，运算的数均以补码表示
2. 被乘数一般取双符号位参与运算，部分积取双符号位，初值为0，乘数可取单符号位
3. 乘数末位增设附加位y_n+1，初值为0
4. 根据（y_n,y_n+1）的取值来确定操作，见下表规则
5. 有符号数，移位按补码右移算术移位规则进行，右移补充1，左移补充0
6. 按上诉步骤进行n+1次步骤，第n+1次不移位。累加n+1次，移位n次

• 一题搞懂补码一位乘法
  

（3）乘法运算总结表

6.定点数除法运算

• 在计算机中，除法运算可转换成“累加-左移”（逻辑左移）；

（1）原码除法运算（不恢复余数法）

• 采用方法：原码不恢复余数法，也称原码加减交替除法；符号位和数值单独处理；

假设除数[X]_原=x_s.x₁x₂……x_n , 除数[Y]_原=y_s.y₁y₂……y_n ,计算|X|/|Y|

• 运算规则：

1. 符号位不参加运算
2. 先用被除数减去除数（ |X| - |Y| = |X| + (-|Y|) = |X| + [|-|Y|]_补 ）
   (1). 余数为正数时，够减，商上1，余数左移一位，再与除数做减法比较
   (2). 余数为负数时，不够减，商上0，加除数恢复成原来的值，将余数左移一位，再与除数做减法比较
3. 重复上述步骤，当第n+1步余数为负时，需加上|Y|得到第n+1步正确的余数

• 一题搞懂：
  
  

（2）补码除法运算（加减交替法）

• 符号位与数值位一起参加运算
• 除法第一步根据被除数和除数的符号决定是做加法还是减法
• 上商的原则根据余数和除数的符号位共同决定，同号上1，异号上0，简单规律就是，够减上1，不够减上0
• 最后一步商恒置为‘1’
• 运算规则：

1. 符号位参与运算，除数、被除数、商和余数都用补码表示
2. 被除数和除数同号，则被除数减去除数；若被除数和除数异号，则被除数加上除数
3. 若余数和除数同号，则上商1，余数左移一位； 若余数和除数异号，则上商0，余数左移一位加上除数
4. 重复执行上一步骤n次
5. 若对商的精度无特殊要求，最后一位商恒置为1
   一题搞懂：

（3）除法运算总结表