基本的算法设计技术——动态规划法

1.数塔问题
完整代码：

#include<iostream>
#define n 5
using namespace std;
int DataTower(int d[n][n])
{
	int maxAdd[n][n]={0},path[n][n]={0};
	int i,j;
	for(j=0;j<n;j++)
		maxAdd[n-1][j]=d[n-1][j];	
	for(i=n-2;i>=0;i--)
	{
		for(j=0;j<=i;j++)
		{
			if(maxAdd[i+1][j]>maxAdd[i+1][j+1])
			{
				maxAdd[i][j]=d[i][j]+maxAdd[i+1][j];
				path[i][j]=j;	
			}	
			else
			{
				maxAdd[i][j]=d[i][j]+maxAdd[i+1][j+1];
				path[i][j]=j+1;
			}
		}	
	} 	
	printf("路径为：%d", d[0][0]);         //输出最顶层数字
	j = path[0][0];        //顶层决策是选择下一层列下标为path[0][0]的元素
	for (i = 1; i < n; i++)
	{
		printf("-->%d", d[i][j]);    
		j = path[i][j];        //本层决策是选择下一层列下标为path[i][j]的元素
	}
	printf("\n最大数值和为：");
	return maxAdd[0][0];              //返回最大数值和，即最终的决策结果
}
int main()
{
	int	d[n][n]={{8},{12,15},{3,9,6},{8,10,5,12},{16,4,18,10,9}};
	int max=DataTower(d);
	cout<<max<<endl;
	return 0;
}  

运行结果：

2.图问题中的动态规划法
1>多段图的最短路径问题
完整代码：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 20;
const int MAX=1000;
int arc[N][N]; 
int CreatGraph()
{
	int i,j,k;
	int weight;
	int vnum,arcnum;
	cout<<"请输入顶点和边的个数："<<endl;
	cin>>vnum>>arcnum;
	for(i=0;i<vnum;i++)
	{
		for(j=0;j<vnum;j++)
		{
			arc[i][j]=MAX;
		}		
	}	
	for(k=0;k<arcnum;k++)
	{
		cout<<"请输入边的两个顶点和权值"<<endl;
		cin>>i>>j>>weight;
		arc[i][j]=weight;
	}
	return vnum;
} 

int BackPath(int n)
{
	int i,j,temp;
	int cost[N],path[N];
	for(i=1;i<n;i++)
	{
		cost[i]=MAX;
		path[i]=-1;
	}
	cost[0]=0;
	path[0]=-1;
	for(j=1;j<n;j++)
	{
		for(i=j-1;i>=0;i--)
		{
			if(arc[i][j]+cost[i]<cost[j])
			{
				cost[j]=arc[i][j]+cost[i];
				path[j]=i;
			}
		}
	}
	cout<<n-1;
	i=n-1;
	while(path[i]>=0)
	{
		cout<<"<-"<<path[i];
		i=path[i];
	}
	return cost[n-1];
}
int main()
{
	int n=CreatGraph();
	BackPath(n);
}

运行结果：

2>多源点最短路径问题
完整代码：

#include <iostream>
using namespace std;
const int MAX = 100;
const int n=3;//假设图中最多顶点个数
void Floyd(int arc[n][n],int dist[n][n])
{
	int i,j,k;
	for(i=0;i<n;i++)
	{
		for(j=0;j<n;j++)
		{
			dist[i][j]=arc[i][j];
		}
	}	
	for(i=0;i<n;i++)
	{
		for(j=0;j<n;j++)
		{
			for(k=0;k<n;k++)
			{
				if(dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j])
				{
					dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j];
				}
			}
		}
	}
} 
int main()
{
	int arc[n][n]={{0,4,11},{6,0,2},{3,MAX,0}};
	int dist[n][n];
	Floyd(arc,dist);
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		for(int j=0;j<n;j++)
			cout<<dist[i][j]<<"  ";
		cout<<endl;
	}
	return 0;
}

运行结果：

3>TSP问题

3.组合问题中的动态规划法
1>最长递增子序列问题
完整代码：

#include<iostream>
using namespace std; 
int IncreaseOrder(int a[ ],int n)
{
	int i,j,k,index;
	int L[10],x[10][10];//L[i]表示元素序列a[0]-a[i]的最长递增子序列的长度，x[n][n]储存对应的最长递增子序列 
	for(i=0;i<n;i++)
	{
		L[i]=1;
		x[i][0]=a[i];
	}
	for(i=1;i<n;i++)//依次计算a[0]-a[i]的最长递增子序列 
	{
		int max=1;//初始化递增子序列长度的最大值 
		for(j=i-1;j>=0;j--) 
		{
			if((a[j]<a[i])&&(max<L[j]+1))//maxL[0]+1,因此不执行if语句 
			{
				max=L[j]+1;//前一个序列的最大子序列L[j]加1(a[i]的长度) 
				L[i]=max;//当前序列的最大子序列 
				for(k=0;k<max-1;k++)
				{
					x[i][k]=x[j][k];//将前一个最大子序列赋值给当前最大子序列(除最后一个元素)	
				} 
				x[i][max-1]=a[i];//当前最大子序列的最后一个元素是a[i] 
			}
		}
	}
	for(index=0,i=1;i<n;i++)
	{
		if(L[index]<L[i])//遍历L[0]-L[n-1],与当前最大子序列长度比较，若大于当前最大子序列则替换index 
			index=i; 
	}
	cout<<"最长公共子序列是：";
	for(i=0;i<L[index];i++)
		cout<<x[index][i]<<" ";
	return L[index]; 
} 
int main()
{
	int a[]={5,2,8,6,3,6,9,7};
	int len = IncreaseOrder(a, 8);
	cout<<"最长递增子序列的长度是："<<len<<endl;
	return 0;
}

运行结果：

2>最长公共子序列问题
完整代码：

#include<iostream>
using namespace std;
int L[10][10],S[10][10];
int CommonOrder(char x[ ],int m,char y[ ],int n,char z[ ])
{
	int i,j,k;
	for(i=0;i<=m;i++)
		L[i][0]=0;
	for(j=0;j<=n;j++)
		L[0][j]=0;
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		for(j=1;j<=n;j++)
		{
			if(x[i-1]==y[j-1])
			{
				L[i][j]=L[i-1][j-1]+1;
				S[i][j]=1;	
			}
			else if(L[i][j-1]>L[i-1][j])
			{
				L[i][j]=L[i][j-1];
				S[i][j]=2;	
			}
			else
			{
				L[i][j]=L[i-1][j];
				S[i][j]=3;	
			}
		}
	}
	i=m;j=n;k=L[m][n];
	while(i>0&&j>0)
	{
		if(S[i][j]==1)
		{
			z[k]=x[i-1];
			k--;
			i--;
			j--;
		}
		else if(S[i][j]==2)
		{
			j--;
		}
		else
		{
			i--;
		}
	}
	for(k=1;k<=L[m][n];k++)
		cout<<z[k]<<" ";
	return L[m][n];
}
int main()
{
	char x[]={'a','b','c','b','d','b'};
	char y[]={'a','c','b','b','a','b','d','b','b'};
	char z[10];
	cout<<"长度为："<<CommonOrder(x,6,y,9,z)<<endl;
	return 0;
}

运行结果：

3>0/1背包问题

#include <iostream>
using namespace std;
int V[6][11];
int x[5];
int KnapSack(int w[ ],int v[ ],int n,int C)
{
	int i,j;
	for(i=0;i<=n;i++)//将i个物品装入容量为0的背包
		V[i][0]=0;
	for(j=0;j<=C;j++)//将0个物品装入容量为i的背包
		V[0][j]=0;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		for(j=1;j<=C;j++)
		{
			if(j<w[i-1])
				V[i][j]=V[i-1][j];
			else
			{
				if(V[i-1][j]>(V[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]))
					V[i][j]=V[i-1][j];
				else
					V[i][j]=V[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1];
			}	
		}	
	} 
	for(j=C,i=n;i>0;i--)
	{
		if(V[i][j]>V[i-1][j])
		{
			x[i-1]=1;
			j=j-w[i-1];	
		}	
		else
			x[i-1]=0;
	} 
	return V[n][C];
}
int main()
{
	int w[]={2,2,6,5,4};
	int v[]={6,3,5,4,6};
	cout<<"背包获得的最大价值是："<<KnapSack(w,v,5,10)<<endl;
	cout<<"装入背包的物品是：";
	for(int i=0;i<5;i++)
		if (x[i] == 1) cout<<"物品"<<i+1<<"  ";
	cout<<endl;
	return 0;
}

4.查找问题中的动态规划法
1>最优二叉查找树
完整代码：

#include<iostream>
#include<iomanip>
#define N 5
using namespace std;
double C[N+1][N+1];
int R[N+1][N+1];
double OptimalBST(double p[ ], int n);
int main()
{
	int i,j;
	double p[]={0.1, 0.2, 0.4, 0.3}; 
    cout<<OptimalBST(p,4)<<endl;
    cout<<"矩阵C:"<<endl;
	for(i=1;i<6;i++)
	{
		for(j=0;j<5;j++)
		{
			cout<<C[i][j]<<"\t";
		}
		cout<<endl;
	}
	cout<<endl;
	cout<<"矩阵R:"<<endl;
	for(i=1;i<6;i++)
	{
		for(j=0;j<5;j++)
		{
			cout<<R[i][j]<<"\t";
		}
		cout<<endl;
	}
	return 0;
}
double OptimalBST(double p[ ], int n)
{
	int i, j, k, d, mink;
	double min, sum;
	for(i=1;i<=n;i++)                //初始化主对角线和第一条次对角线
	{
        C[i][i-1] = 0;
        C[i][i] = p[i-1]; R[i][i] = i;
	}
	C[n][n-1] = 0;
	for(d=1;d<n;d++)  
	{              //按对角线逐条计算
		for(i=1;i<=n-d;i++)
		{
			j=i+d;
			min=1000; mink=i; sum=0;     //假设1000为最大值
			for(k=i;k<=j;k++)
			{
				sum=sum+p[k-1];
				if(C[i][k-1]+C[k+1][j]<min) 
				{
					min = C[i][k-1] + C[k+1][j];
					mink = k;
				}
			}
			C[i][j] = min + sum;
			R[i][j] = mink;
		}
	}
    return C[1][n];
}

运行结果：

2>近似串匹配问题
完整代码：

#include<iostream>
#include<iomanip>
using namespace std;
int D[6][9];
int ASM(char P[ ], char T[ ], int m, int n);
int main()
{
	char P[]="happy";
	char T[]="hsppay";
	cout<<"K-近似匹配求解过程:"<<endl; 
	cout<<ASM(P,T,5,6)<<endl;
	return 0;
}
int min(int x,int y,int z)
{
	int min;
	if (x < y) min = x;
	else min = y;
	if (z < min)
		min = z;
	return min;
}
int ASM(char P[ ], char T[ ], int m, int n)
{
	int i, j;
	for (j = 1; j <= n; j++)                     //初始化第0行
		D[0][j] = j;
	for (i = 0; i <= m; i++)                    //初始化第0列
		D[i][0] = i;
	for (j = 1; j <= n; j++)                    //根据递推式依次计算每一列
	{
		for (i = 1; i <= m; i++)
		{
			if (P[i-1] == T[j-1]) 
				D[i][j] =min(D[i-1][j-1], D[i-1][j]+1, D[i][j-1]+1);
			else
				D[i][j] = min(D[i-1][j-1]+1, D[i-1][j]+1, D[i][j-1]+1);
		}
		for (i = 1; i <= m; i++)
			cout<<D[i][j]<<"  ";
		cout<<endl;
	}
	cout<<"最小差别数是："; 
	return D[m][n];
}

运行结果：