【你也能看得懂的电磁场与电磁波系列连载 18】

在上一个连载里面，我们引入了矢量微分算子，同时给出了梯度、方向导数的计算公式，我们一起来回顾一下：
首先是三元函数的矢量微分算子的表达式：

下面是三元标量函数 $u(x,y,z)$ 的梯度的计算公式：

最后是三元函数 $u(x,y,z)$ 的方向导数的计算：

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好的，引入了矢量微分算子，后面的事情就好办了。我们首先来看看 $Maxwell$ 方程中描述电场的那个方程：

这个式子左边表示通过闭合曲面S的电通量，因为这个闭合曲面S是可以任何选取的，它可以大可以小，可以是球面也可以是各种乱七八糟的闭合曲面。那么下面让这个闭合曲面也一直缩小缩小，缩小到无穷小，那么这时候高斯电场定律会变成什么样呢？

当这个 S 闭合曲面不断缩到无穷小的时候，意味着这个曲面所包围的体积就趋近于0，那么我们是不是可以这样表示：

但是，当曲面缩小到无穷小的时候，我们再使用电荷量q就不太合适了，所以我们改用电荷密度（符号为ρ）。电荷密度，从名字里我们就能猜出它表示的是单位体积内包含电荷量的大小，所以它的表达式应该是用电荷量除以体积

我们现在是假设这个非常小的曲面 S 所包围的体积是 $△V$，那么我们给上面的式子两边同时除以 $△V$：

左边的这一串式子，我们给它一个新的定义——散度，用 $div(\bar{D})$ 表示。

我们在电场基本方程的积分形式里面知道：电荷q是静电场里面的通量源。因此，散度就可以描述场中任意一点的通量源密度。那么你想啊：如果在某一个点处的散度为0，那么这个点一定是没有源的；如果在这个点的散度大于0，那么说明这个点有源、而且是正源（向外发射通量线）；如果散度小于0，那么说明这个点有源，而且是负源（吸收通量线）

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那么说了半天，散度和矢量微分算子到底有上面关系呢？—— 谜底揭晓：

为什么是这样的表达式呢？我们下一个连载接着说。