背包问题总结

参考https://blog.csdn.net/lanyu_01/article/details/79815801

参考中包括求出背包中装入物品的编号及背包问题的优化

0-1背包问题

0-1背包问题是指每一种物品都只有一件，可以选择放或者不放。现在假设有n件物品，背包承重为m。

问题描述

有N件物品和一个容量为V 的背包。放入第i件物品花费的容量是weight[i]，得到的价值是value[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

动态规划：找初始状态和状态转移方程。

初始状态很容易就能知道，那么状态转移方程如何求呢？对于一件物品，我们有放进或者不放进背包两种选择：

  （1）假如我们放进背包，f[i][j] = f[i - 1][j - weight[i]] + value[i]，这里的f[i - 1][j - weight[i]] + value[i]应该这么理解：在没放这件物品之前的状态值加上要放进去这件物品的价值。而对于f[i - 1][j - weight[i]]这部分，i - 1很容易理解，关键是 j - weight[i]这里，我们要明白：要把这件物品放进背包，就得在背包里面预留这一部分空间。

  （2）假如我们不放进背包，f[i][j] = f[i - 1][j]，这个很容易理解。

    因此，我们的状态转移方程就是：f[i][j] = max(f[i - 1][j] , f[i - 1][j - weight[i]] + value[i])  

    当然，还有一种特殊的情况，就是背包放不下当前这一件物品，这种情况下f[i][j] = f[i - 1][j]。

/**
     * 0-1背包问题
     * @param V 背包容量
     * @param N 物品种类
     * @param weight 物品重量
     * @param value 物品价值
     * @return
     */
    public static String ZeroOnePack(int V,int N,int[] weight,int[] value){

        //初始化动态规划数组
        int[][] dp = new int[N+1][V+1];
        //为了便于理解,将dp[i][0]和dp[0][j]均置为0，从1开始计算
        for(int i=1;i j)
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
                else
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i-1]]+value[i-1]);
            }
        }
return dp[N][V];

        

优化

/**
     * 0-1背包的优化解法
     * 思路：
     * 只用一个一维数组记录状态，dp[i]表示容量为i的背包所能装入物品的最大价值
     * 用逆序来实现
     */
    public static int ZeroOnePack2(int V,int N,int[] weight,int[] value){
        //动态规划
        int[] dp = new int[V+1];
        for(int i=1;i=weight[i-1];j--){
                dp[j] = Math.max(dp[j-weight[i-1]]+value[i-1],dp[j]);
            }
        }
        return dp[V];       
    }
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原文链接：https://blog.csdn.net/lanyu_01/article/details/79815801

完全背包问题

每种物品都有无限件可用

问题描述

有N种物品和一个容量为V 的背包，每种物品都有无限件可用。放入第i种物品的的容量是weight[i]，得到的价值是value[i]。求解：将哪些物品装入背包，可使这些物品的耗费的容量总和不超过背包容量，且价值总和最大。

 

状态转移方程：f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-k*weight[i-1]]+k*value[i-1])

/**
     * 第二类背包：完全背包
     * 思路分析：
     * 01背包问题是在前一个子问题（i-1种物品）的基础上来解决当前问题（i种物品），
     * 向i-1种物品时的背包添加第i种物品；而完全背包问题是在解决当前问题（i种物品）
     * 向i种物品时的背包添加第i种物品。
     * 推公式计算时，f[i][y] = max{f[i-1][y], (f[i][y-weight[i]]+value[i])}，
     * 注意这里当考虑放入一个物品 i 时应当考虑还可能继续放入 i，
     * 因此这里是f[i][y-weight[i]]+value[i], 而不是f[i-1][y-weight[i]]+value[i]。
     * @param V
     * @param N
     * @param weight
     * @param value
     * @return
     */
    public static String completePack(int V,int N,int[] weight,int[] value){
        //初始化动态规划数组
        int[][] dp = new int[N+1][V+1];
        //为了便于理解,将dp[i][0]和dp[0][j]均置为0，从1开始计算
        for(int i=1;i j)
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
                else
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-weight[i-1]]+value[i-1]);
            }
        }
return  dp[N][V];
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原文链接：https://blog.csdn.net/lanyu_01/article/details/79815801

优化

/**
     * 完全背包的第二种解法
     * 思路：
     * 只用一个一维数组记录状态，dp[i]表示容量为i的背包所能装入物品的最大价值
     * 用顺序来实现
     */
    public static int completePack2(int V,int N,int[] weight,int[] value){

        //动态规划
        int[] dp = new int[V+1];
        for(int i=1;i