初中数学几何推理大梳理

数学老师让整理来着，放出来造（PO）福（HAI）社会

整理了初中数学几何所有目前考试中有可能在推理题中出现的需要填的内容。

有疏漏欢迎评论区帮忙勘误。

抄 书 大 王，看了初中数学全部内容应该木有疏漏了（才怪）。

三角函数这些感觉不太会考，咕掉了。

线

1. 两点之间，线段最短
2. 垂线段最短
3. 平行线性质+判定（依据写前面，结果写后面）：
   • 两直线平行 \(\Leftrightarrow\) 同位角相等
   • 两直线平行 \(\Leftrightarrow\) 内错角相等
   • 两直线平行 \(\Leftrightarrow\) 同旁内角相等

角

1. 同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等。
2. 对顶角相等
3. 角平分线：
   • 性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等
   • 判定：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上

旋转对称变换

1. 关于某条直线对称的两个图形是全等形
2. 对称轴是对称点的所连线段的垂直平分线
3. 垂直平分线：
   • 性质：线段垂直平分线上的点到这条线断两个端点距离相等
   • 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
4. 旋转
   • 性质
     • 对应点到旋转中心的距离相等
     • 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
     • 旋转前后图形全等
5. 中心对称：
   • 性质
     • 对应点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分
     • 对应线段平行（或在同一直线上）且相等

三角形

1. 三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和

2. 三角形的外角和是 \(360°\)

3. 三角形内角和是 \(180°\)

4. 全等三角形判定：

   • SSS：三边对应相等的两个三角形全等
   • SAS：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
   • ASA：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
   • AAS：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等
   • HL：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等

5. 等腰三角形：

   • 性质：
     • 等边对等角
     • 三线合一
   • 判定：
     • 等角对等边

6. 等边三角形：

   • 性质：三边相等，三个内角都相等都是 \(60°\)
   • 判定：
     • 三条边都相等的三角形
     • 三个内角都相等的三角形
     • 有一个内角是 \(60°\) 的等腰三角形

7. 直角三角形性质：

   • 两个锐角互余
   • 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
   • 直角三角形中，如果一个锐角为 \(30°\)，它对所对的直角边等于斜边的一半

8. 勾股定理：

   • 互逆：\(a^2 + b^2 = c^2\ \Leftrightarrow\) 直角三角形

9. 中位线：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半

10. 相似三角形：

    • 判定：

      • 平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线）所构成的三角形和原三角形相似

      • 两角分别相等的两个三角形相似

      • 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

      • 三边成比例的两个三角形相似

      • 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似。（书上的话真麻烦，直接两个直角三角形一条斜边与一条直角边分别对应成比例不就完了。）

四边形

1. 平行四边形：

   • 性质：
     • 对边平行且相等
     • 对角相等，邻角互补
     • 对角线互相平分
   • 判定
     • 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
     • 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
     • 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
     • 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

2. 平行线间距离处处相等

3. 矩形：

   • 性质：

     • 平四的一切性质）

     • 矩形四个角都是直角

     • 矩形对角线相等

   • 判定：

     • 有一个角是直角的平行四边形是矩形
     • 有三个角是直角四边形是矩形
     • 对角线相等的平行四边形是矩形

4. 菱形：

   • 性质：
     • 平四的一切性质）
     • 四条边相等
     • 菱形的四条边都相等
     • 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
   • 判定：
     • 一组邻边相等的平行四边形是菱形
     • 四条边都相等的四边形是菱形
     • 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

5. 正方形：

   • 性质：
     • 四个角都是直角，四条边都相等
     • 两条对角线相等，并且垂直平分，每条对角线平分一组对角
     • 菱形+矩形的结合qwq）

多边形

1. 多边形的外角和是 \(360°\)
2. \(n\) 边形外角和是 \((n - 2) \times 180°\)

圆

1. 垂径定理：

   • 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧
   • 推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

2. 圆心角定理

   • 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对弦相等
   • 推论：圆心角相等 \(\Leftrightarrow\) 狐相等 \(\Leftrightarrow\) 弦相等

3. 圆周角定理：

   • 在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
   • 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等
   • 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°角的圆周角所对的弦是直径

4. 圆内接四边形对角互补

5. 切线

   • 判定：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

6. 切线长定理：

   • 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角