A*搜索算法概述

编者按：本文作者奇舞团前端开发工程师魏川凯。

A*搜索算法（A-star search algorithm）是一种常见且应用广泛的图搜索和寻径算法。A*搜索算法是通过使用启发式函数来指导寻路，从而高效的保证找到一条最优路径。A*搜索算法最初的设计是用来解决最短路径问题。但是，从理论来说A*可以解决大多数的成本代数问题。

A*搜索算法于1968年，由斯坦福研究院的Peter Hart，Nils Nilsson以及Bertram Raphael首次发表。

原理

A*搜索算法综合了最佳优先搜索算法（Best-first search）和Dijkstra算法的优点，通过一个成本估算函数来指导路径的搜索过程：$$ f(n) = g(n) + h(n) $$ 其中：

• $n$：任意一个顶点

• $g(n)$：表示起点到任意顶点$n$的实际成本

• $h(n)$：是一种启发式函数，表示从任意顶点$n$到目标点的估算成本

在算法的每次迭代中，会从一个优先队列中取出$f(n)$值最小（估算成本最低）的节点作为下次待遍历的节点。这个优先队列通常称为open set。然后相应地更新其领域节点的$f(n)$和$g(n)$值，并将这些领域节点添加到优先队列中。最后把遍历过的节点放到一个集合中，称为close set。直到目标节点的$f(n)$值小于队列中的任何节点的$f(n)$值为止（或者说直到队列为空为止）。因为目标点的启发式函数$h(n)$值为0，所以说目标点的$f(n)$值就是最优路径的实际成本。

下面为A*搜索算法的主流程代码：

// heuristicFunction，启发式函数
function aStar(start, goal, heuristicFunction) {
  // 带估算的节点集合，为一个优先队列，每次取f(n)值最小的节点
  const openSet = new PriorityQueue()
  openSet.add(start) // 初始只有起点
  const closeSet = [] // 已被估算过的节点集合
  const gScore = { [start]: 0 } // g(n)值
  const hScore = { [start]: heuristicFunction(start, goal) } // h(n)值
  const fScore = { [start]: hScore[start] } // f(n)值
  const cameFrom = {} // 记录当前节点的上一个节点
  while(!openSet.isEmpty()) {
    const current = openSet.pollFirst()
    if(current === goal)
      return reconstructPath(cameFrom, goal) // 当前节点为目标点，返回最佳路径
    close_set.add(current)
    // neighborNodes，取出current节点的邻域节点
    for(let neighbor of neighborNodes(current)) {
      if(close_set.includes(neighbor))
        continue
      // 从起点到neighor的距离
      const tentativeGScore = gScore[current] + distance(neighbor, current)
      if(!openSet.includes(neighbor) || tentativeGScore < gScore[neighbor]) {
        // 记录neighbor节点的前一个节点
        cameFrom[neighbor] = current
        gScore[y] = tentativeGScore
        hScore[y] = heuristicFunction(neighbor, goal)
        fScore[y] = gScore[neighbor] + hScore[neighbor]
        openSet.add(neighbor)
      }
    }
  }
}
function reconstructPath(cameFrom, current) {
    const bestPath = [current]
    while(cameFrom[current]) {
      current = cameFrom[current]
      bestPath.unshift(current)
    }
    return bestPath
}

启发式函数

启发式函数作为A*搜索算法的核心，对算法的行为有着重大的影响，具体有以下几种情况：

• 当启发式函数$h(n)$始终为0时，则将由从起点到任意顶点n的距离$g(n)$决定，此时A*算法将等效于Dijkstra算法。此时，可以考虑初始化一个值非常大的全局计数器C，每次处理一个节点时，将C分配给它所有领域节点。每次分配后，再将计数器C减一。节点被发现的越早，其$h(x)$值就越高。从而实现深度优先遍历。

• 当$h(n)$始终小于等于顶点n到目标点的实际成本，则A*算法一定可以求出最优解。但是当$h(n)$的值越小，算法需要计算的节点越多，算法效率越低。

• 当$h(n)$完全等于顶点n到目标点的实际成本，则A*算法将以较快的速度找到最优解。可惜的是，并非所有场景下都能做到这一点。因为在没有达到目标点之前，我们很难确切算出距离目标点还有多远。

• 当$h(n)$大于顶点n到目标点的实际成本，则A*不能保证找到一条最短路径，但它运行得更快。

• 当从起点到任意顶点n的实际成本$g(n)$等于0，或者$h(n)$值远远大于$g(n)$时，则只有h(n)起作用，此时算法演变成最佳优先搜索算法，速度最快，但可能得不出最优解。

可以看出，通过调节$h(n)$可以控制算法的精度和速度。一些情况下，我们未必要找到最佳路径，而是要高效的找出差不多好的路径，所以需要权衡，这个我们后面在讲。

二维网格地图中的启发式函数

在二维网格地图中，有如下几种常见的启发式函数：

• 如果允许朝四个方向移动，即上下左右，则可以使用曼哈顿距离（$L_1\,norm$）

• 如果允许朝八个方向移动，即增加了对角线方向，则可以使用切比雪夫距离（$L_\infty\,norm$）

• 如果允许朝任何方向移动，则可以使用欧几里得距离（$L_2\,norm$）

曼哈顿距离

曼哈顿距离（Manhattan distance）是指两点所形成的线段对坐标轴产生的投影的长度总和。在向量空间中又称为L1范数。在直角坐标系下，两点之间的曼哈顿距离为：$$ d(x, y) = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2| $$

因此曼哈顿距离的启发式函数为：$$ h(n) = D \times (|n.x - goal.x| + |n.y - goal.y|) $$ 其中D是节点移动的单位成本，一般是一个常数。

切比雪夫距离

切比雪夫距离（Chebyshev distance）是指二个点之间的距离定义为其各座标数值差的最大值。在向量空间中又称为L∞范数。在直角坐标系下，两点之间的切比雪夫距离为：$$ d(x, y) = max(|x_1 - x_2|, |y_1 - y_2|) $$

因此切比雪夫距离的启发式函数为：$$ h(n) = D \times max(|n.x - goal.x|, |n.y - goal.y|) $$ 上面的函数前提是直线和对角线的移动成本都是D，如果对角线的移动成本不是D，则上面的函数是不准确的，那就需要一个更准确的函数：$$ h(n) = D \times (|n.x - goal.x| + |n.y - goal.y|) + \sqrt{2} D min(|n.x - goal.x|, |n.y - goal.y|) $$

欧几里得距离

欧几里得距离（Euclidean distance）是指两点之间的直线距离。在向量空间中又称为L2范数。在直角坐标系下，两点之间的欧几里得距离为：$$ d(x,y)=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2} $$

因此欧几里得距离的启发式函数为：$$ h(n) = D \times \sqrt{(n.x - goal.x)^2+(n.y - goal.y)^2} $$

松弛

前面的章节我们提到，通过调节$h(n)$可以控制算法的速度和精度，一些情况下，我们可以牺牲最优性，来加快搜索速度。这时候需要做一些松弛操作，以便我们求得相较于最优解(1+ε)倍的次优解。

• 静态加权。假设$h(n)$是一个启发式函数，我们可以用$h_w(n = ε \times h(n), ε > 1)$作为加权后的启发式函数，由于扩展了较少的节点，因此速度加快，找到的路径的误差最多是最小路径的ε倍。

• 动态加权。通过动态改变权重大小，从而控制搜索的速度，可以使用如下的启发式函数：$$ f(n)=g(n)+(1+εω(n))h(n) $$ 其中

• w(n)是计算权重的函数，当前搜索深度较小时，会获得较大的权重，加快搜索速度：$$ ω(n) = \begin{cases} 1 - \frac{d(n)}{N} & d(n) \leq N \ 0 & otherwise \end{cases} $$

• $d(n)$是搜索深度，$N$是最终路径的预期长度，ε是允许的误差范围。

• 通过偏好离目标点最近的节点来加快深度遍历，以提高速度。使用如下的启发式函数：

  $$  f\alpha(n)=(1+w\alpha(n))f(n) $$

  其中

• wα(n)是计算权重的函数

  $$  w_\alpha(n)=\begin{cases} \lambda & g(\pi(n)) \leq g(\tilde{n}) \ \Lambda & otherwise \end{cases} $$

• λ和Λ是$\lambda \leq \Lambda$的常量，$π(n)$是n的父节点，而ñ是要扩展的节点。

参考连接

1. https://en.wikipedia.org/wiki/A*_search_algorithm

2. http://theory.stanford.edu/~amitp/GameProgramming/AStarComparison.html

关于奇舞周刊

《奇舞周刊》是360公司专业前端团队「奇舞团」运营的前端技术社区。关注公众号后，直接发送链接到后台即可给我们投稿。