动态规划法解决0-1背包问题(C++)

1.动态规划法的设计思想：动态规划法将待求解问题分解成若干个相互重叠的子问题，每个子问题对应决策过程的一个阶段，子问题的重叠关系一般表现在对给定问题求解的递推关系，将子问题的的解求解一次并且填入表中，当需要再次求解子问题的时候，可以通过查表获得这个子问题的解而不是再次求解，从而避免大量重复计算，为了达到这个目的，可以通过一个表来记录所有以解决的子问题的解。
2.动态规划法求解的问题的特征：该问题的最优解中包含着子问题的最优解（符合最优性原理），能够分解为相互重叠的若干个子问题、
3.动态规划法的步骤：
（1）分段：将原问题分成若干个相互重叠的子问题
（2）分析：分分析问题是否满足最优性原理，找出动态规划函数的递推式
（3）求解：利用递推式自底向上计算，实现动态规划的过程
根据这个套路 我们来看0-1背包问题，0-1背包问题的动态规划函数是
V(i,j): 当背包容量为j的时候，他的最大
w[i]:第i个物品的质量
v[i]:第i个物品的价值
动态规划函数为：
下面是程序：

#include 

using namespace std;

//比较两个数的大小，返回较大的数
int max(int a,int b)
{
    if(a >= b)
        return a;
    else
        return b;
}
//01背包动态规划算法
int KnapSack(int C, int n, int w[], int v[])
{
    int V[n+1][C+1];

    for(int i = 0; i <= n; i++)
    {
        V[i][0] = 0;
    }
    for(int j = 0; j <= C; j++)
    {
        V[0][j] = 0;
    }
    //计算第i行，进行第i次迭代
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= C; j++)
        {
            if(j < w[i])
                V[i][j] = V[i-1][j];
            else
                V[i][j] = max(V[i-1][j], V[i-1][j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
    //装入的物品
    int x[n];
    int j = C;
    cout<<"装入的物品:";
    for(int i = n ; i >= 0; i--)
    {
        if(V[i][j] > V[i-1][j])
        {
            x[i] = 1;
            j = j - w[i];
        }
        else
            x[i] = 0;
        cout<'\t';
    }
    cout<return V[n][C];
}
int main()
{
    int n;
    int C;
    cout<<"输入物品的个数：";
    cin>>n;
    cout<<"输入背包的容量：";
    cin>>C;
    int v[n];
    int w[n];
    for(int i = 1 ; i <= 5 ; i++ )
    {
        cout << "输入第" <"个物品的质量：";
        cin >> w[i];
    }
    for(int  i = 1; i <= 5; i++)
    {
        cout << "输入第" <"个物品的价值：";
        cin >> v[i];
    }
    cout << "the max value is ：" << KnapSack(C,n,w,v)<