有趣的海盗分金问题（博弈论）

海盗分金问题

关于海盗分金问题是经济学上的一个经典模型：是说5个海盗抢得100金币，他们按照抽签的顺序依次提方案：首先由1号提出分配方案，然后5人表决，投票要超过半数同意方案才能被通过，否则他将被扔入大海喂鲨鱼。该题同时也是一道著名的博弈题目，涉及到了博弈论的知识。那么什么是博弈论呢？

什么是博弈论

博弈论（Game Theory)，是研究决策主体的行为发生直接相互作用时候的决策以及这种决策的均衡问题，也就是说，当一个主体，好比说一个人或是一个企业的选择受到其他人、其他企业选择的影响，而且反过来影响到其他人、其他企业时的决策问题和均衡问题。

聊完上述概念性的内容后我们就来看一下海盗分金问题的问题描述吧。

问题描述

1.由五个海盗轮流提出方案

2.如果超过半数海盗（包括提出者）同意该方案，则按该方案分配

3.如果同意该方案的海盗（包括提出者）少于一半，则将提出者丢进海里喂鲨鱼，剩下的人继续分配。

4.海盗们都是绝对理性的，以自己尽可能多获得金币为前提，但是在利益相等的情况下，会更倾向于将提出者丢去喂鲨鱼。

问：第一个海盗应该提出怎样的分配方案，才能保证自己既不被扔到海里，又能使自己利益最大化？

举个例子

如果此时第一个海盗提出自己100金币，其他人一个金币都没有。那么毫无疑问肯定会被丢去喂鲨鱼。

但如果他给每个人都分20个金币，第二位海盗会不同意，但剩下三位海盗都会乐开花（为什么我们后面就知道了） 。这样虽然能通过提案，但是却不能保证第一个海盗的收益最大化。

由此可见第一个海盗需要将自己的利益最大化，但也需要通过一定的金币去获取其他海盗的支持，问题的关键就是将思维倒转过来。

先告诉各位标准答案把，第一个海盗的最优决策是给自己97个金币，给第三位海盗1个金币，给第四位或第五位海盗2个金币。可能有人会说这样子第一个海盗不是妥妥的会被丢去喂鱼吗，但出人意料的是这个提案成功通过了。

题解

首先第一个海盗需要考虑第二个海盗心里是怎么想的，才能尝试着去笼络他。这样就需要考虑第二个海盗会提出怎样的提案。

我们将这五位海盗分别称为老大，老二，老三，老四，老五。

老一需要考虑的是如果自己被丢进海里，剩下4个海盗的情况下老二会提出怎样的方案，自己只需要在这基础上再多提供一些金币就可以通过。

老二需要考虑的是如果自己被丢进海里，剩下3个海盗的情况下老三会提出怎样的方案，自己只需要在这基础上再多提供一些金币就可以通过。

老三需要考虑的是如果自己被丢进海里，剩下2个海盗的情况下老四会提出怎样的方案，自己只需要在这基础上再多提供一些金币就可以通过。

老四需要考虑的是如果自己被丢进海里，剩下1个海盗的情况下老五会提出怎样的方案，自己只需要在这基础上再多提供一些金币就可以通过。

那么很明显了，只剩下一个海盗的时候100金币肯定全归老五，所以在剩下2个海盗的时候，老五不管老四说什么也都要反对。

这时候一位同学说到：可是老四如果将100个金币全给老五，不能保住性命吗。

答：题目描述中提到过，这五位海盗都是绝对理性的人，并且在利益一致的情况下会更倾向于将提议者丢去喂鲨鱼。所以即便老四不给老五100个金币，老五只要反对，这金币也仍然归他，那么老五为什么要同意呢（海盗情）

所以老四没有最优决策。这时候就轮到老三思考了，自己不管怎么样，老四都会赞成（因为他不想死），而老五都会反对（毕竟老三喂鱼去了，那么金币就在眼前了）。所以老三的最优决策就是（100，0，0）代表着给老三给自己100个金币，给老四和老五分别0个金币。

那么轮到老二思考了，自己不管怎么做，老三都会反对，毕竟老二喂鱼去了，老三就能获得100个金币。所以此时老二需要考虑的就是怎么获得老四和老五的支持了。重点来了！问题描述提到这些海盗都是绝对理性的人，所以在前面老三的提案下，无法获得一分一毛的老四和老五，此时只需要给他们分别一个金币就能获得他们俩的支持，就形成了3：1的局面。因此老二的最优决策就是（98，0，1，1）代表着老二给老三0个金币，给老四和老五各1个金币。

终于轮到老大思考了，如果我去喂鱼了，老二能拿到98个金币，我不可能花99个金币甚至100个金币去拉拢他，所以直接放弃老二。那么老三就成了最好拉拢的对象了，老二的决策中老三一个金币也得不到，此时我只需要给他1个金币，他就会赞成我的提案。而剩下的老四和老五只需要获得其中一个人的赞成，那么就能获得剩下的全部金币。而他们在老二的决策中都能获得1个金币，我只需要给其中一个人两个金币，获得他的支持，剩下的97个金币就全归我了。这里可能有同学会问：“为什么要给两个金币而不是一个呢，老二能一个金币拉拢到为什么老大就需要两个呢？”，其实跟之前提问时一样的。如果站在老四的角度考虑，老大给了我一个金币，老二也会给啊，那么我肯定希望海盗们多死一个是一个（彻底没有了的海盗情）。于是，老大的最优决策也得出了（97，0，1，0，2）或者（97，0，1，2，0）。