[计算机组成原理]定点数运算及溢出检测

一、定点数加法运算

$[X{]}_{补}+[X{]}_{补}=[X+Y{]}_{补}mod{2}^{n+1}$

算法理解
例1 已知 $X=+10010$ $Y=-10101$ 求 $X+Y$
解：$[X{]}_{补}=010010$ $[Y{]}_{补}=101011$
$[X+Y{]}_{补}=[X{]}_{补}+[Y{]}_{补}=010010+101011=111101$
所以：$X+Y=-00011$

二、定点数减法运算

$[X-Y{]}_{补}=[X{]}_{补}-[Y{]}_{补}=[X{]}_{补}+[-Y{]}_{补}$

算法理解
例2 已知 $[Y{]}_{补}=10011$ 求 $[-Y{]}_{补}$
解：$[Y{]}_{补}=10011$
$\therefore Y=-1101-Y=1101$
$\therefore [-Y{]}_{补}=01101$

对比 $[Y{]}_{补}=10011$，可知：
通过右向扫描 $[Y{]}_{补}$，在遇到数字 1 及之前，直接输出遇到的数字，遇到 1 之后，取反输出，即可得到 $[-Y{]}_{补}$，反之亦然！

例3 已知 $X=+10101$ $Y=+10010$ 求 $X-Y$
解：$[X{]}_{补}=010101$，$[Y{]}_{补}=010010$，$[-Y{]}_{补}=101110$
$[X+Y{]}_{补}=[X{]}_{补}+[-Y{]}_{补}=010101+101110=1000011$
所以 $X-Y=+00011$

三、数溢出的概念及其判断方法

1、溢出的概念

运算结果超过了某种数据类型的表示范围。

例4 已知 $X=+10010$ $Y=+10101$ 求 $X+Y$
解：$[X{]}_{补}=010010$ $Y=010101$
$[X+Y{]}_{补}=[X{]}_{补}+[Y{]}_{补}=010010+010101=100111$
所以：$X+Y=-11001$
两个正数之和为负数！

例5 已知 $X=-10010$ $Y=-10101$ 求 $X+Y$
解：$[X{]}_{补}=101110$ $[Y{]}_{补}=101011$
$[X+Y{]}_{补}=[X{]}_{补}+[Y{]}_{补}=101110+101011=$ $1$ $011001$
所以：$X+Y=+11001$
两个负数之和为正数！

2、溢出的检测方法

溢出只可能发生在同符号数相加时，包括 $[X{]}_{补}$ $[Y{]}_{补}$；$[X{]}_{补}$ 与 $[-Y]$ 同号；

（1）方法1：对操作数和运算结果的符号位进行检测
当结果的符号位与操作数的符号不相同时就表明发生了溢出（设 $X_0$ $Y_0$ 为参加运算数的符号位，$S_0$ 为结果的符号位）
$V=X_0{Y}_0\overline{S_0}+\overline{X_0}\overline{Y_0}{S}_0$
当 $V=1$ 时，运算结果溢出，根据该逻辑表达式，容易画出相应电路。

（2）方法2：对最高数据位进位和符号进位进行检测
设运算时最高数据位产生的进位为 $C_1$，符号位产生的进位为 $C_0$，溢出检测电路为：$V=C_0⨁C_1$
$0.X_1+0.Y_1$ 此时：$C_0=0$，若 $C_1=1$ 则改变了结果符号位，发生溢出。
$1.X_1+1.Y_1$ 此时：$C_0=1$，若 $C_1=0$ 则改变了结果符号位，发生溢出。

（3）方法3：用变型补码
$[X{]}_{补}=X_{f1}{X}_{f2}.X_1{X}_2{X}_3\dots X_{n}mod{2}^{n+2}$
溢出的判断：$V=X_{f1}⨁X_{f2}$

例6 已知 $X=-10010$ $Y=-10101$ 求 $X+Y$
解：$[X{]}_{补}=1101110$ $[Y{]}_{补}=1101011$
$[X+Y{]}_{补}=[X{]}_{补}+[Y{]}_{补}=1101110+1101011=$ $1$ $10$ $11001$
$V=1⨁0=1$ 故发生溢出！

上述三种方法可基于逻辑表达式画出相应电路，在后面的运算器部分，还将具体讲解。

（4）溢出判断的软件方法

int tadd_ok(int x, int y)
{
 	int sum = x + y;
 	int neg_over = x < 0 && y < 0 && sum >= 0;
 	int pos_over = x >= 0 && y >= 0 && sum < 0;
 
 	return !neg_over && !pos_over;
}

体会软/硬件功能的等效性和差异性！
体会软/硬件协同的系统观！

四、无符号数运算的溢出判断

1、无符号数加法的溢出可用 ALU 的进位表示；
2、无符号数减法的溢出也可用带加/减功能的 ALU 的进位取反后表示。