字符串-最长公共子串（两个，多个）

关于暴力解和动规说的最好的https://www.cnblogs.com/ider/p/longest-common-substring-problem-optimization.html

空间复杂度 O(1) 还是左神的p225说的好。其实也没什么意思orz！

问题：有两个字符串str1和str2，求出两个字符串中最长公共子串长度。

暴力解：

1）把str1和str2的所有子串都找到，然后挨个比较

时间复杂度：

假设两个字符串str1和str2的长度分别为x和y，则字符串的子串个数分别为

n1 = x + (x-1) + ... + 1 = x(x-1) / 2

n2 = y + (y-1) + ... + 1 = y(y-1) / 2

所以，暴力求解法下，对比两个子串是否相等，时间复杂度为O(x^2*y^2)，即O(n^4)。

2）稍微把暴力解优化一点

  a）优化方法1

遍历str1的每一个子串a，然后str2.find（a）==string::npos 看str2里面有无对应的子串，因为find用的是kmp，find的复杂度是y，所以总的复杂度是O(x^2*y)，即O（n^3）

  b）优化方法2

不用str.find 也能做到O（n^3）

不是遍历str1的每一个子串，而是把str1中以str1【i】为开头，str1【str1.len()-1】为结尾的子串，跟str2中以str2【j】为开头，str2【str2.len()-1】为结尾的子串，依次比较，找到两个字符串的最长公共前缀，复杂度依旧是O（n^3）。

3）动规 时间复杂度 O(n^2)

状态转移方程：

假设，两个字符串分别为

A = a1, a2, ..., ax

B = b1, b2, ..., by

我们定义dp[i][j]的含义是：必须把A[i-1]和B【j-1】当作公共子串最后一个字符的情况下，公共子串最长能有多长。
常规动规思想：https://blog.csdn.net/ten_sory/article/details/79857531

另一种角度：https://blog.csdn.net/qq_25800311/article/details/81607168

class LongestSubstring {
public:
    int findLongest(string A, int n, string B, int m) {
		if(n<=0 || m<=0) return 0;
        vector> dp(n+1,vector(m+1,0));
		int res = 0;
		//dp【i】【j】 代表的是A[i-1] B[j-1]
		for(int i=1;i<=n;++i){
			for(int j=1;j<=m;++j){
				if(A[i-1]==B[j-1]){
					dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
					res = max(dp[i][j],res);
				}
			}
		}
		
		return res;
    }
};

 

假如问题是多个字符串呢？

自然dp数组的维度就是n维的，时间复杂度也是O(n^n)，实际中自然不可能用这种方法的，那就是用后缀数组做，不过这逼玩意属实太难，假如面试碰到，跟他bb一下，就ok了

把n个字符串的所有后缀，排序，假如n个字符串的总长度是K，那么后缀的个数是K，而排序假如用倍增算法+基数排序，那时间复杂度是O(KlogK)，即使用快排，假如字符串是随机的，那其实也就是O(KlogK)

最坏的情况： 快排每个后缀(n log n)，但是这是字符串，所以比较任意两个后缀的复杂度其实是O(n)，这样一来就是接近O(n^2 log n)的复杂度，但是其实，假如是随机的字符串，比较任意两个后缀的平均复杂度应该是O(1），因为一共就那么几个字符，比不了几个字符就判断出大小了。

然后还有几个重要的性质：

1）任意1个子串都是某个后缀的前缀

2）任意2个后缀（i，j）之间的最长公共前缀，都是这一段相邻后缀之间的最长公共前缀的最小值，

即  LCP(i,j)=min(i

而求相邻两个最长公共前缀（即，里面的height数组）又有个优化，可以做到O（N）

 

搞出了这些之后，对于n个字符串的最长公共前缀，是后缀数组中相邻n项（得是分别来自n个不同字符串）的最大公共前缀，

最后的复杂度是 O(K* logK)

n个字符串的  具体的可以看看    https://www.xuebuyuan.com/3226411.html

后缀数组： 粗暴介绍 https://www.xuebuyuan.com/274781.html

                 性质2的证明 https://blog.csdn.net/qq_36172410/article/details/89816078

                 比较图形化的介绍： https://www.cnblogs.com/jinkun113/p/4743694.html

                                                  https://www.cnblogs.com/victorique/p/8480093.html

 最后贴的论文 很棒！ https://blog.csdn.net/zy799894671/article/details/7761171