小朋友学C语言（18）：二进制

一、十进制与二进制

我们日常所用到的计数方式，是十进制（数字用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字来表示）。
十进制的进位规则是”逢十进一”。
比如零、一、二、三、四、五、六、七、八、九都是用一位数来表示。再进一的话，是十。十无法用1位数来表示，所以要”进一”，用两位数来表示，即10。
19进一是二十，无法以1X来表示，所以得用20来表示。
99进一是一百，无法用9X来表示，所以得用100来表示。

计算机用二进制（数字用0和1来表示）来存储数据。二进制的进位规则是“逢二进一”。
零用0来表示；
一用1来表示；
那么二该如何表示呢？因为总共只能用0和1来表示，二就相当于十进制里的十，需要进位了，所以二用10表示；
同理三用11来表示；
四需要再进一位，用100来表示；
五用101来表示；
六用110来表示；
七用111来表示；
八需要再进一位，用1000来表示；
九用1001来表示；
其余的依此类推。

二、二进制转换为十进制

在考虑二进制之前，咱们先看一下十进制的幂表示方法：

0 = 0 * 10^0；
1 = 1 * 10^0；
2 = 2 * 10^0；
3 = 3 * 10^0；
10 = 1 * 10^1 + 0 * 10^0
11 = 1 * 10^1 + 1 * 10^0
12 = 1 * 10^1 + 2 * 10^0
13 = 1 * 10^1 + 3 * 10^0
20 = 2 * 10^1 + 0 * 10^0
21 = 2 * 10^1 + 1 * 10^0
22 = 2 * 10^1 + 2 * 10^0
23 = 2 * 10^1 + 3 * 10^0
30 = 3 * 10^1 + 0 * 10^0
31 = 3 * 10^1 + 1 * 10^0
99 = 9 * 10^1 + 9 * 10^0
100 = 1 * 10^2 + 0 * 10^1 + 0 * 10^0
123 = 1 * 10^2 + 2 * 10^1 + 3 * 10^0

这样，就可以得出任何一个十进制数的幂表示方法。比如

32078 = 3 * 10^4 + 2 * 10^3 + 0 * 10^2 + 7 * 10^1 + 8 * 10^0  

二进制同样可以用这种方式来表示，并且可以算出相应的十进制值

二进制	十进制
0	0 * 2^0 = 0
1	1 * 2^0 = 1
10	1 * 2^1 + 0 * 2^0 = 2
11	1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 3
100	1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 0 * 2^0 = 4
101	1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = 5
110	1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 0^0 = 6
111	1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 7
1000	1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 0 * 2^1 + 0 * 2^0 = 8
1001	1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = 9
1010	1 * 2^3 + 0 * 2^2 +1 * 2^1 + 0 * 2^0 = 10
1011	1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 11
1100	1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 0 * 2^0 = 12
1101	1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = 13
1110	1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 0 * 2^0 = 14
1111	1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 15
10000	1 * 2^4 + 0 * 2^3 + 0 * 2^2 + 0 * 2^1 + 0 * 2^0 = 16

作业：
（1）计算并牢记2 ^ 0, 2 ^ 1, 2 ^ 2, 2 ^ 3, 2 ^ 4, 2 ^ 5, 2 ^ 6, 2 ^ 7, 2 ^ 8, 2 ^ 9, 2 ^ 10
（2）求二进制11011, 101010, 11111111对应的十进制数

三、十进制正整数转换为二进制

十进制整数转换为二进制整数采用"除2取余，逆序排列"法。
具体做法是：用2整除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用2去除商，又会得到一个商和余数，如此进行，直到商为0时为止，然后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，依次排列起来。

例1：十进制13转化为二进制
解：

13 / 2 = 6,余数为1
6 / 2 = 3，余数为0
3 / 2 = 1，余数为1
1 / 2 = 0，余数为1
上面的余数为1，0，1，1。逆排列后变为1，1，0，1
所以13 = (1101)B。这里B代表Binary，二进制的意思。

例2：1024转化为二进制
解：

1024 / 2 = 512，余数为0
512 / 2 = 256，余数为0
256 / 2 = 128，余数为0
128 / 2 = 64，余数为0
64 / 2 = 32，余数为0
32 / 2 = 16，余数为0
16 / 2 = 8，余数为0
8 / 2 = 4，余数为0
4 / 2 = 2，余数为0
2 / 2 = 1，余数为0
1 / 2 = 0，余数为1
所以，1024 = (10000000000)B。从这里也可以看出，1024 = 2 ^ 10

例3：十进制255转化为二进制
解：

255 / 2 = 127, 余数为1
127 / 2 = 63，余数为1
63 / 2 = 31，余数为1
31 / 2 = 15，余数为1
15 / 2 = 7，余数为1
7 / 2 = 3，余数为1
3 / 2 = 1，余数为1
1 / 2 = 0，余数为1
所以，255 = (11111111)B

作业：将十进制25, 100, 32767转化为二进制。

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