组合数的模的几种求法总结

先放一张图片，内容还没写完，不断补全吧。需要注意的是其中很多内容、代码并未经过验证，如有疏漏请指出，谢谢。

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问题：

求

方法一：组合数公式

最直接的方法，求 取模即可。

方法二：组合数递推公式

利用 公式

方法三：高精度求组合数

此方法较少用到，实现难度大，所以如果你的代码能力特别好可以试着写。

方法四：分解质因数

利用欧拉线性筛我们可以求得一个数是否是质数，同时可以求得一个合数的最小质因数，所以我们可以将n！进行分解质因数，用数组cnt记录n！中出现某个因子的个数，从大往小遇到合数则分解为两个数的乘积，加入这个两个因子中。对分子分母都进行一次，然后相减，最终得到一个质数的幂的乘积。对于每一个幂我们用高精度能在 内求解，而由质数定理，小于n的质数有 个，所以总的时间复杂度为O（n）。

方法四代码：未经测试，不保证正确性

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define MEM(a) memset(a,0,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF = 999999999;
const int MAXN = 100000;

bool check[MAXN];
int prime[MAXN], cnt, minn[MAXN];//minn储存最小的质因子

void prime_calc(int n)//线性筛
{
	int i, j;
	for (i = 2; i <= n; ++i)
	{
		if (!check[i]) prime[++cnt] = i;
		for (j = 1; j <= cnt; ++j)
		{
			if (i*prime[j] > n) break;
			check[i*prime[j]] = 1;
			minn[i*prime[j]] = prime[j];
			if (i%prime[j] == 0) break;
		}
	}
}

int num[MAXN], num2[MAXN];

int pow(int a, int b, int c)//快速幂
{
	int ans = 1;
	a %= c;
	for (; b; b >>= 1)
	{
		if (b & 1) ans = (ans*a) % c;
		a = a*a%c;
	}
	return ans;
}

void work()
{
	int i, j, n, m, d, ans = 1;
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &d);
	prime_calc(n);
	for (i = n; i >= 2; --i)
	{
		if (i > m) ++num[i];
		if (check[i])
		{
			num[minn[i]] += num[i];
			num[i / minn[i]] += num[i];
			num[i] = 0;
		}
	}
	for (i = n - m; i >= 2; --i)
	{
		++num2[i];
		if (check[i])
		{
			num2[minn[i]] += num2[i];
			num2[i / minn[i]] += num2[i];
			num2[i] = 0;
		}
	}
	for (i = 2; i <= n; ++i) 
	{
		num[i] -= num2[i];
		ans = (ans*pow(i, num[i], d)) % d;
	}
	printf("%d\n", ans);
}

int main()
{
	work();
	return 0;
}