面试题 - （0.1+0.2=0.3）？

题目

0.1 + 0.2 是否等于 0.3 ？

解答

首先直接通过浏览器开发者模式打开控制台看一下结果。

其实看到这个题目应该就可以猜到肯定不可能是 0.3，否则就不会出这个题目了。这个题目涉及到数学运算中的浮点运算。

0.1 转二进制

0.1 = a * 2^-1 + b * 2^-2 + c * 2^-3 + d * 2^-4 + …

左右两边一直乘以2，将小数与正数分开，得到以下结果。

0 + 0.2 = a * 2^0 + b * 2^-1 + c * 2^-2 + … (a = 0)
0 + 0.4 = b * 2^0 + c * 2^-1 + d * 2^-2 + … (b = 0)
0 + 0.8 = c * 2^0 + d * 2^-1 + e * 2^-2 + … (c = 0)
1 + 0.6 = d * 2^0 + e * 2^-1 + f * 2^-2 + … (d = 1)
1 + 0.2 = e * 2^0 + f * 2^-1 + g * 2^-2 + … (e = 1)
0 + 0.4 = f * 2^0 + g * 2^-1 + h * 2^-2 + … (f = 0)
0 + 0.8 = g * 2^0 + h * 2^-1 + i * 2^-2 + … (g = 0)
1 + 0.6 = h * 2^0 + i * 2^-1 + j * 2^-2 + … (h = 1)
…
这个计算在不停的循环，所以 0.1 用二进制表示就是 0.00011001100110011……

0.2 转二进制

0.2 = a * 2^-1 + b * 2^-2 + c * 2^-3 + d * 2^-4 + …

左右两边一直乘以2，将小数与正数分开，得到以下结果。

0 + 0.4 = a * 2^0 + b * 2^-1 + c * 2^-2 + … (a = 0)
0 + 0.8 = b * 2^0 + c * 2^-1 + d * 2^-2 + … (b = 0)
1 + 0.6 = c * 2^0 + d * 2^-1 + e * 2^-2 + … (c = 1)
1 + 0.2 = d * 2^0 + e * 2^-1 + f * 2^-2 + … (d = 1)
0 + 0.4 = e * 2^0 + f * 2^-1 + g * 2^-2 + … (e = 0)
0 + 0.8 = f * 2^0 + g * 2^-1 + h * 2^-2 + … (f = 0)
1 + 0.6 = g * 2^0 + h * 2^-1 + i * 2^-2 + … (g = 1)
1 + 0.2 = h * 2^0 + i * 2^-1 + j * 2^-2 + … (h = 1)
…
0.2 用二进制表示就是 0.00110011001100110……

浮点数

1. 整数型存储整数，浮点型存储小数。显示浮点数的方法有两种，单精度和双精度。单精度用 32 位表示，双精度用 64 位表示。JavaScript 是遵循国际 IEEE 754 标准，将数字存储为双精度浮点数，也就是用 64 位表示。

2. 最大数和最小数一般用科学计数法来表示。比如 0.000045 可以表示为 0.45 * 10^4。某市有 10000000 人口可以表示为 1 * 10 ^7。科学记数法主要是为了书写方便。

3. 对于二进制也是一样，以 0.1 的二进制 0.00011001100110011…… （后面有0.1转二进制的过程）这个数来说：
   可以表示为：1 * 2^-4 * 1.1001100110011……
   二进制科学计数法公式为：V = (-1)^S (1 + Fraction) 2^E

4. 所有浮点数都可以用以上公式来表示，所以我们只需要把变化的 S，Fraction 以及 E 存储即可。以 64 位存储为例，其中用 1 位存储 S（sign，存在位 63 上，表示符号位，取 0 表示正数，1表示负数）。用 11 位存储 E+bias，存在位 52-62 上。用 52 位存储 Fraction，存在位 0-51 上。

综上所述，上文 1 * 2^-4 * 1.1001100110011…… 例子中 ，
Sign（该数为正数）为 0。
Fraction（小数部分）为 1001100110011……。
Exponent（指数）为 -4。
bias （这里是为了辅助存储 E，因为要存11位，如果只是正数的话是 2^11 -1 = 2047，范围是 0 - 2046。但是可能存在负数，所以取值范围为 -1023-1023，为了不存负数，存储的时候需要加 1023（ 2^(11-1)-1=1023），取值的时候再减去1023）。所以 E+bias = -4+1023 = 1019。而 1019 的二进制为 1111111011。
所以 0.1 用 64 位二进制表示如下：
0 01111111011 1001100110011001100110011001100110011001100110011010
同理，0.2 用 64 位二进制表示如下：
0 01111111100 1001100110011001100110011001100110011001100110011010

浮点数运算

浮点数运算有五个步骤：对阶、尾数运算、规格化、舍入处理、溢出判断。

1. 对阶就是把阶码对齐，其目的是为了使两个浮点数的尾数进行加减运算。比如 0.1 的二进制科学记数法是 1.1001100110011…… * 2^-4，阶码就是 -4。而 0.2 的二进制科学记数法是 1.10011001100110...* 2^-3，阶码就是 -3，两个阶码不同，所以先调整为相同的阶码再进行计算，调整原则是小阶对大阶，同时将小阶码对应的浮点数的尾数右移相应位数，以保证该浮点数的值不变。也就是 0.1 的 -4 调整为 -3，对应变成 0.11001100110011…… * 2^-3

2. 尾数运算
   0.1100110011001100110011001100110011001100110011001101
   + 1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010
   ————————————————————————————————————
   10.0110011001100110011001100110011001100110011001100111

3. 规格化
   将这个结果处理一下，即结果规格化，变成 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110011(1) * 2^-2

4. 舍入处理
   括号里的 1 是计算后这个 1 超出了范围，也就是超出了 52 位，所以要舍弃。四舍五入对应到二进制中，就是 0 舍 1 入，因为要把括号里的 1 丢了，这里会进 1，结果变成 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110100 * 2^-2

   PS：这里不涉及溢出判断。

所以最终的结果存成 64 位就是

0 01111111101 0011001100110011001100110011001100110011001100110100

将它转换为 10 进制数就得到 0.30000000000000004440892098500626

因为两次存储时的精度丢失加上一次运算时的精度丢失，最终导致了 0.1 + 0.2 !== 0.3

总结

1. 小数转二进制可能有些麻烦，需要两边不断乘2取0或1。
2. 用科学计数法时，我们只需要存储 S、Fraction、E(E+bais)。
3. 用 64 位表示的二进制中，其中1位表示符号位，11位表示指数位（注意这里是 E+bias），52位表示小数位。