DFT和IDFT分析

DFT和IDFT的意义

DFT：离散傅里叶变换
离散傅里叶变换可以将连续的频谱转化成离散的频谱去计算，这样就易于计算机编程实现傅里叶变换的计算。FFT算法的出现，使得DFT的计算速度更快。

定义

DFT的定义

设 $x(n)$ 是一个长度为$M$的有限长序列，则定义$x(n)$的$N$点离散傅里叶变换为
$$X(k)=DFT[x(n)]=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{kn}(k=0,1,...,N-1)$$
注意：$x(n)$的离散傅里叶变换结果与变换区间长度$N$的取值有关。

DFT的定义

$X(k)$的离散傅里叶逆变换（Inverse Discrete Fourier Transform, IDFT）为
$$x(n)=IDFT[X(k)]=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}X(k)W_N^{-kn}(n=0,1,...,N-1)$$
式中， $W_N=e^{-j\frac{2\pi }{N}}$, $N$称为DFT变换区间长度，$N\ge M$

DFT的矩阵分析

由DFT的数学表达式可以看出：

1. 对于每一个$X(k)$的计算，为两个向量的内积形式

2. 对于$k=0,1,...,N-1$,则$X(k)$的计算可以看做向量$x(n)$和一个矩阵的乘积，我们一般讲这个矩阵称作DFT矩阵。$$X(k)=DFT[x(n)]=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{kn}=x(n)\ast P(k=0,1,...,N-1)$$ $$P=\left[\begin{array}{l}{W}_N^{0\ast 0}{W}_N^{0\ast 1}...W_N^{0\ast n}\\ W_N^{1\ast 0}{W}_N^{1\ast 1}...W_N^{1\ast n}\\ ...\\ W_N^{k\ast 0}{W}_N^{k\ast 1}...W_N^{k\ast n}\end{array}\right]$$

3. 同理，对于IDFT的运算，同样会有一个对应的IDFT矩阵，且和DFT矩阵有如下的关系: $$\begin{gathered} x(n)=IDFT[X(k)]=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}X(k)W_N^{-kn}=\frac{1}{N}X(k)\ast Q \\ (k=0,1,...,N-1) \end{gathered}$$ $$Q=\left[\begin{array}{l}{W}_N^{-0\ast 0}{W}_N^{-0\ast 1}...W_N^{-0\ast n}\\ W_N^{-1\ast 0}{W}_N^{-1\ast 1}...W_N^{-1\ast n}\\ ...\\ W_N^{-k\ast 0}{W}_N^{-k\ast 1}...W_N^{-k\ast n}\end{array}\right]$$

4. 对$P$和$Q$的形式进行分析，则可得到如下结论:
   $$Q=P^{\ast }$$
   其中，$P$是$DFT$矩阵，$Q$是$IDFT$矩阵，且$P$和$Q$均为对称阵。
   $P$和$Q$的第一行和第一列全为1。

5. 将$P$和$Q$应用于DFT和IDFT中，则有
   $$\begin{gathered} X(k)=DFT[x(n)]=x(n)\ast P \\ x(n)=IDFT[X(k)]=\frac{1}{N}X(k)\ast Q=\frac{1}{N}x(n)\ast P\ast Q \\ \frac{1}{N}x(n)\ast P\ast Q=I_N \end{gathered}$$
   $$P\ast Q=N\ast I_N$$
   说明$DFT$矩阵$P$和$IDFT$矩阵$Q$均为正交矩阵（$A\ast A^H=E$）。
   这两个矩阵的每一行（列）都是有个基，在N个方向上都有不同的基向量。
   因此，$DFT$和$IDFT$都是一种正交变换。

DFT在matlab

对于matlab中的$DFT$正变换，可使用内置函数dftmtx(n)，而对于$IDFT$的矩阵，可以通过$\frac{1}{N}\ast dftmtx(N{)}^{\ast }$来得到。

相关的代码分析

%% Prepare
clc;
close all;
clear;

%% Define the signal
N = 8;
x = [0:N-1];

%% Generate the vector of n and k
N = length(x);
n = [0:N-1];
k = [0:N-1];

%% Generate the twist-factor W
imag_unit = sqrt(-1);
W = exp(-1*imag_unit*2*pi/N);

%% Generate P matrix
P = W.^(n'*k);

%% DFT transformation
X_P = x*P;
X_fft = fft(x);
X_err = norm(X_P - X_fft)

%% Generate Q matrix
Q = conj(P);

% IDFT transformation
x_Q = 1/N * X_P * Q;
x_ifft = ifft(X_fft);
x_err = norm(x_Q - x_ifft)

%% Test: P*Q == N*I_n
I_n = eye(N);
left = P*Q;
right = N*I_n;
err = norm(left - right)

%% Generate P and Q using dftmtx
P_dftmtx = dftmtx(N);
P_err = norm(P_dftmtx - P)

Q_dftmtx = conj(dftmtx(N));
Q_err = norm(Q_dftmtx - Q)