【物理】半导体物理 西安电子科技大学 柴常春等主讲-[笔记P11-P14]

第一章 半导体中的电子状态 P11-

• 宏观物体：位置坐标+动量（矢量和动量）
• 微观状态：能量E,波数矢量k
  半导体中电子状态和能带
• 本节线索
  • 孤立原子中的电子
    • 单电子原子(H)
    • 多电子
  • 自由电子状态
  • 半导体中的电子状态

1. 原子中的电子状态

E~n=-(mq^4/8ε^2h^2) *(1/n^2) = -13.6 * 1/n^2 

• 单电子原子和多电子原子其电子状态仍然不连续
• 能级 孤立原子核外的电子，其状态是一系列能量分立的确定值。

2. 自由电子状态（一维）
   • 一维下的薛定谔方程，通过方程联立解出

    E = h^2k^2/2m

• 自由电子是其能量状态是连续的，是连续的E,k关系。

3. 半导体中的电子状态和能带

P.S.需要好好复习一遍量子力学/固体力学

• 半导体中薛定谔方程及其解的形式

• 单电子近似： 设晶体电子是在严格周期性重复排列并且是固定不动的原子核势场以及大量电子的平均势场下运动。（为什么要不动？因为薛定谔方程V(x)不包含t

  • 把研究晶体中电子状态的问题从原子核-电子的混合系统中分离出来；
  • 把众多相互牵制的复杂的多电子问题近似成为对某一电子的作用只是一个平均势场的作用。

• 根据单电子近似

  • 势场：半导体中的电场是在严格周期性重复排列的原子间排列的
  • V(x)= V(x+Sa), S 是个整数，a是晶格常数，
  • 薛定谔方程+周期性方程。
    Bloch证明了具有周期性势场的薛定谔方程其解一定具有下面的形式

• Bloch波函数是以晶格常数为周期性的函数。

• 讨论：自由电子和晶体中电子描述了沿着波长1/k传播的函数。但晶体中周期性调制振幅取代了自由电子的恒定振幅。

• 对自由电子 A^2,电子在空间各点等几率出现。反应了电子做自由运动。

• 晶体中电子，|u(x)u(x)| 找到该电子的几率具有周期性变化的性质。电子不再属于某一个原子，而是可以从一个原子所谓“自由”运动到其他晶胞对应点上，称为共有化运动。

• bloch函数中的波矢k具有量子数作用。不同的k表示了不同的共有化运动状态。
  need review in the future

2. 两种极端情况
   • 准自由电子近似，自由电子的状态出发，设想将一个电子放入到晶体当中。由于晶格存在，电子波在传播中就会遭到反射。一般情况下各个反射波会相互抵消。如果各个反射波都相互抵消，那么对于前进波无重大影响。但满足布拉格反射条件的时候，就会形成驻波。定态为驻波，在一维晶体中。
     • 量子力学，电子的运动可以看作是波包的运动，波包的群速度就是电子运动的平均速度。V = 1/ h * dE/dH
     • 在满足布拉格的点上，我的速度是多少 V = 0. 由于形成的是驻波。
     • 形成了一系列允许的和不允许的，允带和禁带。
   • 紧束缚近似 从孤立原子核外电子的状态出发，视晶体为相互靠拢到一定程度的结果。Bloch函数，电子做公有化运动，不再长时间的停留在某个原子的一定状态之下。而只停留有限时间。根据测不准原理，在孤立原子中能量具有确定值。如果是晶体中的电子，能级展宽为能带。

• 晶体中电子的状态既不同于自由电子的连续的Ek关系，也不同于孤立原子核外电子的状态能级，而是形成了一系列的允带和禁带。

3. 布里渊区与能带
   • 在 h = n/2a 处 能量出现不连续，出现了一系列允带和禁带。
   • 第一布里渊区 -1/2a < k <1/2a
   • 第二布里渊区
   • 第三布里渊区

• 禁带出现在布里渊区的界面上，一个布里渊区对应于一个允带。
• 晶体中的EK关系是周期性的。
• 第一布里渊区又称简约布里渊区，因为是周期的，所以只需要讨论第一布里渊区。

4. 能带中的量子态数
   一维晶体中，用波恩-卡曼边界条件（循环边界条件）

• 晶体中的波函数应该是Bloch函数；
• 在允带中还有许多能级。