卷积到底是怎么【卷】的
卷积，这个词大家应该都不陌生，数学中傅立叶变换的时候，物理中信号处理的时候，图像处理中滤波的时候、提取边缘的时候，还有深度学习中卷积神经网络的时候，处处可见卷积的影子。卷积在图像处理中的应用非常广泛，可以说理解了卷积，就可以理解图像处理算法的半壁江山，也不知道这个说法是否夸张了。
但是都说卷积卷积，那卷积到底是怎么个卷法呢？本文尝试解答这一问题。
理解的卷积计算过程
想要理解卷积，一些必要的数学公式是少不了的，放心吧，就下面这一个公式了，所有讨论围绕这一个公式展开。
我们从维基百科中对于卷积的解释引入：
设： f ( x ) f(x) f(x), g ( x ) g(x) g(x) 是 R R R上的两个可积函数，作积分：
∫ − ∞ ∞ f ( τ ) g ( x − τ ) d τ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(x-\tau )\,\mathrm {d} \tau } ∫−∞∞f(τ)g(x−τ)dτ
可以证明，关于几乎所有的 ${\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )} $，上述积分是存在的。这样，随着 x {\displaystyle x} x 的不同取值，这个积分就定义了一个新函数$ {\displaystyle h(x)}$ ，称为函数 f {\displaystyle f} f 与 g {\displaystyle g} g的卷积，记为 h ( x ) = ( f ∗ g ) ( x ) {\displaystyle h(x)=(f*g)(x)} h(x)=(f∗g)(x)。
我们提取下重点公式写在下面，记为公式1：
h ( x ) = ( f ∗ g ) ( x ) = ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) g ( x − τ ) d τ (1) {\displaystyle h(x)=(f*g)(x)} = {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(x-\tau )\,\mathrm {d} \tau }\tag{1} h(x)=(f∗g)(x)=∫−∞∞f(τ)g(x−τ)dτ(1)
以上公式1最令人迷惑也是最需要注意的部分在于，在等式的左边，自变量是 x x x，然而等式的右边自变量却变成了 τ \tau τ，更令人疑惑的是——右边自变量不是 x x x是 τ \tau τ也就算了,竟然还出现了一个 x x x。
那么问题来了， x x x和 τ \tau τ，到底哪个在变？还是两个都在变？如果是都在变，那到底是怎么个变法？
这些问题还是需要慢慢道来。我们先看一个卷积稍微通俗一点的解释。
卷积
（1）即是通过两个函数 f f f和 g g g生成第三个函数的一种数学算子。
（2）表征函数f与经过翻转和平移的g的乘积函数所围成的的曲边梯形的面积。
上面两句话都非常重要，我们从第二句话开始看，第二句话中包含了以下四个重点信息：
- 翻转
- 平移
- 乘积
- 积分（函数围成的面积不就是积分么？）
我们一个一个来看。先看右边，我们不妨先令 x = x 0 x=x_0 x=x0， 也就是 x x x不变而 τ \tau τ变的情况。于是公式1就变成了公式2：
h ( x 0 ) = ( f ∗ g ) ( x 0 ) = ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) g ( x 0 − τ ) d τ (2) {\displaystyle h(x_0)=(f*g)(x_0)} = {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(x_0-\tau )\,\mathrm {d} \tau }\tag{2} h(x0)=(f∗g)(x0)=∫−∞∞f(τ)g(x0−τ)dτ(2)
1. 翻转
先看翻转，怎么翻转一个函数呢，想一下最简单的 f ( τ ) = τ f(\tau)=\tau f(τ)=τ，不难发现， f ( τ ) f(\tau) f(τ)翻转之后即为 f ( − τ ) f(-\tau) f(−τ)。我用Python画出了这俩函数的图像，看起来更为直观。
2. 平移
然后看一下一个函数如何平移，仍然以 f ( τ ) = τ f(\tau)=\tau f(τ)=τ为例，回一下我们中学学过的数学知识，也许还能记起来， f ( x 0 − τ ) f(x_0-\tau) f(x0−τ)就是由 f ( − τ ) f(-\tau) f(−τ)向右平移 x 0 x_0 x0得到的。我们仍然以图说话，用Python作图如下， x 0 x_0 x0分别取值为 20 , 40 , 60 , 80 20,40,60,80 20,40,60,80。
3. 乘积
现在我们只看公式的右边部分：
KaTeX parse error: \tag works only in display equations
现在我们可以知道 g ( x 0 − τ ) g(x_0-\tau) g(x0−τ)就是 g ( τ ) g(\tau) g(τ)翻转之后又向右平移了 x 0 x_0 x0个单位。这时候需要考虑另一个函数 f ( τ ) f(\tau) f(τ)了。这里 我们继续举个例子，不妨令 f ( τ ) = s i n ( τ 10 ) f(\tau)=sin(\frac{\tau}{10}) f(τ)=sin(10τ)。
我们继续用Python画出 f ( τ ) g ( x 0 − τ ) f(\tau )g(x_0-\tau ) f(τ)g(x0−τ)如下图所示：
4. 积分
现在是较为完整的公式3的样子了，这里为了能够更好地表达，我们把区间从 ( − ∞ , ∞ ) (-\infty ,\infty ) (−∞,∞)改为 ( − 50 , 50 ) (-50,50) (−50,50)，即画出
KaTeX parse error: \tag works only in display equations
注意了，在上面的所有过程中， x x x一直是不变的，变的是 τ \tau τ。即我们上面一直是在做的是公式2右边的计算，公式2如下：
h ( x 0 ) = ( f ∗ g ) ( x 0 ) = ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) g ( x 0 − τ ) d τ (2) {\displaystyle h(x_0)=(f*g)(x_0)} = {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(x_0-\tau )\,\mathrm {d} \tau }\tag{2} h(x0)=(f∗g)(x0)=∫−∞∞f(τ)g(x0−τ)dτ(2)
不论 τ \tau τ怎么变化，最后一旦积分，等式右边就成了一个确定的数字，一个常量。一个 x x x对应一个 y y y嘛。此时我们可以继续看公式左边了，我们直接看公式1：
h ( x ) = ( f ∗ g ) ( x ) = ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) g ( x − τ ) d τ (1) {\displaystyle h(x)=(f*g)(x)} = {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(x-\tau )\,\mathrm {d} \tau }\tag{1} h(x)=(f∗g)(x)=∫−∞∞f(τ)g(x−τ)dτ(1)
左边换下位置我们也许会更好理解，即 ( f ∗ g ) ( x ) = h ( x ) {\displaystyle (f*g)(x) = h(x)} (f∗g)(x)=h(x)。也即之前提到的一句话：卷积即是通过两个函数 f f f和 g g g生成第三个函数的一种数学算子。
总结一下，卷积计算过程可以分解为四步：翻转、平移、乘积、积分。
卷积为什么叫“卷积”？
1. 卷积之【卷】
那么问题来了？卷积为什么要叫“卷积”呢？换言之，卷积之“卷”和卷积之“积”分别是什么含义？
这里想像一下如果我们要卷起一张A4纸，需要怎么做？
（1）首先我们需要提起对着自己一条边，向上翻转使之对着自己身体前方——翻转！
（2）然后继续向下打个圈之后，就可以向前推了——平移！
看到没？翻转！平移！
你肯定还记得上面说的卷积计算的四个过程：翻转、平移、乘积、积分。卷积之“卷”，你明白了吗？
本文完
什么？还不能走？把画图的源码交出来？
# coding:utf-8
"""
Author: CVPy-冰不语
Date: 2019/11/26
"""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 定义函数f(x)
def f(x):
"""$f\ (\\tau)$"""
return x
# 定义函数g(x)
def g(x):
"""$f(x)=sin(x)$"""
return np.sin(x/10)
# 设置坐标系
def set_ax(ax):
ax.spines['top'].set_color('none')
ax.spines['right'].set_color('none')
ax.spines['bottom'].set_color('deepskyblue')
ax.spines['left'].set_color('deepskyblue')
ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))
ax.yaxis.set_ticks_position('left')
ax.spines['left'].set_position(('data', 0))
ax.set_xticks(np.arange(-100,101, 50))
# ax.set_yticks(np.arange(-100,101, 50))
return ax
if __name__ == "__main__":
# x的取值范围
x = np.arange(-100, 100, 0.1)
# ---------第一幅图：f(x)和f(-x)----------
fig = plt.figure(figsize=(6, 6))
# 左边画f(x)
ax1 = fig.add_subplot(121)
ax1 = set_ax(ax1)
ax1.plot(x, f(x), 'orange', label=f.__doc__)
plt.legend(loc="upper left", bbox_to_anchor=[0, 1],
ncol=1, fancybox=True)
# 右边画f(-x)
ax2 = fig.add_subplot(122)
ax2 = set_ax(ax2)
plt.plot(x, f(-x), 'orange', label="$f\ (-\\tau)$")
plt.legend(loc="upper right", bbox_to_anchor=[1, 1],
ncol=1, fancybox=True)
plt.show()
# ---------第二幅图：f(t-x)----------
fig2 = plt.figure(figsize=(6, 6))
ax3 = fig2.add_subplot(111)
ax3 = set_ax(ax3)
ax3.set_xticks(np.arange(-100, 101, 20))
ax3.set_yticks(np.arange(-100, 181, 20))
for t in [20, 40, 60, 80]:
plt.plot(x, f(t-x), label="$f\ (x_0 - \\tau) \ \ x_0={0}$".format(t))
plt.legend(loc="upper right", bbox_to_anchor=[1, 1], ncol=1, fancybox=True)
plt.show()
# ---------第三幅图：g(x) * f(t-x)----------
t = 80
def f_mul_g(x, t):
"""$f(\\tau-x)*g(\\tau)$"""
return f(t-x)*g(x)
fig3, ax4 = plt.subplots()
ax4 = set_ax(ax4)
ax4.set_xticks(np.arange(-100,101, 20))
# ax4.set_yticks(np.arange(-100,181, 20))
plt.plot(x, f_mul_g(x, t), label=f_mul_g.__doc__)
plt.legend(loc="upper right", bbox_to_anchor=[1, 1], ncol=1, fancybox=True)
plt.show()
# ---------第四幅图：g(x) * f(t-x)的积分----------
import matplotlib.patches as mPatches
def int_fg(x, t, ax5):
ax5 = set_ax(ax5)
plt.plot(x,f_mul_g(x, t), 'orange', label="$f\ (\\tau)*g(x_0-\\tau) \ \ x_0={0}$".format(t))
plt.legend(loc="upper right", bbox_to_anchor=[1, 1],
ncol=1, fancybox=True)
a = -50
b = 50
ix = np.linspace(a,b)
iy = f_mul_g(ix,t)
verts = [(a,0)] + list(zip(ix, iy)) + [(b,0)]
poly = mPatches.Polygon(verts,color='deepskyblue')
ax5.add_patch(poly)
# plt.plot(x,g(x),label=g.__doc__)
plt.text(30, 50, '$\int_a^b f\ (\\tau)*g(x_0-\\tau) \ \ x_0={0}$'.format(t), style='oblique',
bbox={'facecolor': 'orange', 'alpha': 0.5, 'pad': 5}, fontsize=15)
fig4, ax5 = plt.subplots()
int_fg(x, t, ax5)
plt.legend(loc="upper right", bbox_to_anchor=[1, 1], ncol=1, fancybox=True)
plt.ion()
# for i in range(100):
# y = np.random.random()
# plt.autoscale()
# plt.scatter(i, y)
# plt.pause(0.01)
fig4, ax5 = plt.subplots()
tn = np.arange(-100,100,5)
for t in tn:
plt.cla()
plt.grid(True)
plt.autoscale()
int_fg(x, t, ax5)
plt.pause(0.01)
plt.legend(loc="upper right", bbox_to_anchor=[1, 1], ncol=1, fancybox=True)
plt.show()