【模版】最近公共祖先LCA(链剖)

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最近公共祖先LCA(链剖)

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给定一棵 以 $s$ 为根节点，共有 $n$ 个点的树。
有 $m$ 次查询 每次查询 $u,v$ 的最近公共祖先。

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算法流程
$1$.根据连边的信息建图（邻接表）。代码就不贴了，注意建立双向边。
$2$.$dfs1$ ，从给定的起点出发，预处理以下信息：
$①$深度：$deep[e[i].to]=deep[x]+1$
$②$父亲：$fa[e[i].to]=x$
$③$大小：$size[x]+=dfs1(e[i].to)$
子树大小无法直接求得，因为该点向下遍历多少点是无法从当前状态求出的。所以我们可以考虑递归回溯来解决。在遍历前自己本身大小为 $size[x]=1$ 。我们只需要加上遍历到的下一个点的大小即可，所以处理好深度和父亲的信息后，只需回溯 $return$ $size[x]$
$④$儿子：$if(size[e[i].to]>size[son[x]])son[x]=e[i].to$
链剖法每个点记录的儿子是子树大小最大的点。该记录的最好方式是降低期望查询的时间复杂度，使得查询效率尽可能加快。

dfs1(s);
int dfs1(int x)
{
    size[x] = 1;
    for(int i = head[x]; i; i = e[i].nxt)
    {
        if(deep[e[i].to])   continue;
        deep[e[i].to] = deep[x] + 1;
        fa[e[i].to] = x;
        size[x] += dfs1(e[i].to);
        if(size[e[i].to] > size[son[x]]) son[x] = e[i].to;
    }
    return size[x];
}

3.$dfs2$：通过 $dfs1$ 预处理后，除叶子节点以外，都记录了儿子。若从树根开始按照 $son[x]$ 的顺序向下遍历，一定是遍历了一条链，而且沿途所有点的链头都是第一个被遍历的点。 $son[x]$ 遍历结束回溯的时候，可以继续找下一个儿子节点继续按这个儿子节点的 $son[e[i].to]$ 又挖出一条链来。
如此流程，原来的树就会被拆成若干条链，每条链的每个点都记录的自己的链头元素。为下一步查询做准备。

dfs2(s, s)
void dfs2(int x, int root)
{
    top[x] = root;
    if(son[x])  dfs2(son[x], root);
    for(int i = head[x]; i; i = e[i].nxt)
        if(e[i].to != son[x] && e[i].to != fa[x])   
            dfs2(e[i].to, e[i].to);
}

$4$.查询：对于要查询的 $lca(u,v)$ ，有两种情况：
$①$两点在同一条链上，即 $top[u]=top[v]$。此时深度小的点即为 $lca$。
$②$两点不在同一条链上，即 $top[u]\ne top[v]$ 。此时 两点中记录的链头的深度较深的点，应跳出此链，到下一条链，然后再次查询新的两点的 $lca$。即若 $deep[top[v]]>deep[top[u]]$ , $v=fa[top[v]]$

query_lca(u, v);
int query_lca(int u, int v)
{
    while(top[u] != top[v])
    {
        if(deep[top[u]] > deep [top[v]])    swap(u, v);
        v = fa[top[v]];
    }
    return deep[u] > deep[v] ? v : u;
}

完整代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int n, m, s;
int head[1001010],deep[1001010],size[1010100],fa[1010100],son[1010100],top[1101010];
struct list
{
    int to,nxt;
}e[1010101];
int read()
{
    int rt = 0, in = 1; char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9') {if(ch == '-') in = -1; ch = getchar();}
    while(ch >= '0' && ch <= '9') {rt = rt * 10 + ch - '0'; ch = getchar();}
    return rt * in;
}
void add_edge(int u, int v)
{
    e[++head[0]].to = v;
    e[head[0]].nxt = head[u];
    head[u] = head[0];
}
int dfs1(int x)
{
    size[x] = 1;
    for(int i = head[x]; i; i = e[i].nxt)
    {
        if(deep[e[i].to])   continue;
        deep[e[i].to] = deep[x] + 1;
        fa[e[i].to] = x;
        size[x] += dfs1(e[i].to);
        if(size[e[i].to] > size[son[x]]) son[x] = e[i].to;
    }
    return size[x];
}
void dfs2(int x, int root)
{
    top[x] = root;
    if(son[x])  dfs2(son[x], root);
    for(int i = head[x]; i; i = e[i].nxt)
        if(e[i].to != son[x] && e[i].to != fa[x])   
            dfs2(e[i].to, e[i].to);
}
int query_lca(int u, int v)
{
    while(top[u] != top[v])
    {
        if(deep[top[u]] > deep [top[v]])    swap(u, v);
        v = fa[top[v]];
    }
    return deep[u] > deep[v] ? v : u;
}
int main()
{
    n = read(), m = read(), s = read();
    for(int i = 1; i < n; i++)
    {
        int u = read(), v = read();
        add_edge(u, v), add_edge(v, u);
    }
    deep[s] = 1;
    dfs1(s);
    dfs2(s, s);
    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int u = read(), v = read();
        printf("%d\n",query_lca(u, v));
    }
    system("pause");
    return 0;
}

练习题：
[模版] lca
luogu P3398