相似矩阵、过渡矩阵

申明： 仅个人小记

一、相似矩阵

P−1AP=B P − 1 A P = B

P−1APx⃗ =Bx⃗  P − 1 A P x → = B x →

x⃗  x → 是新空间的一个向量， Px⃗  P x → 表示将新空间向量 x⃗  x → 变换为原空间向量， APx⃗  A P x → 是在原空间下做A变换, P−1APx⃗  P − 1 A P x → 是将变换结果反变回新空间， Bx⃗  B x → 是在新空间下对向量 x⃗  x → 做B变换

对上式进行变形，得

A=PBP−1 A = P B P − 1

Ay⃗ =PBP−1y⃗  A y → = P B P − 1 y →

此时， y⃗  y → 是原空间的一个向量， P−1y⃗  P − 1 y → 是将原空间向量 y⃗  y → 变换到新空间， BP−1y⃗  B P − 1 y → 则是在新空间中对向量 P−1y⃗  P − 1 y → 做B变换， PBP−1y⃗  P B P − 1 y → 便是将变换结果 P−1y⃗  P − 1 y → 变换到原空间。

二、过渡矩阵

R3 R 3 空间的一个基 A=(α⃗ 1,α⃗ 2,α⃗ 3) A = ( α → 1 , α → 2 , α → 3 ) ，在取一个新基 B=(β⃗ 1,β⃗ 2,β⃗ 3) B = ( β → 1 , β → 2 , β → 3 ) ，把矩阵

P=A−1B P = A − 1 B

称为旧基A到新基B的过渡矩阵。
为什么这样称呼，看下式：

B=AP B = A P

即对基A做变换P就可以得到基B。(为什么这样，我暂时不清楚，只当是选出一种作为规定吧)。

具体用处，

x⃗ =A−1By⃗ ,其中x⃗ 是基A下的坐标，y⃗ 是基B下的坐标 x → = A − 1 B y → , 其 中 x → 是 基 A 下 的 坐 标 ， y → 是 基 B 下 的 坐 标

By⃗  B y → 是将B基下的向量 y⃗  y → 变换到原空间， A−1By⃗  A − 1 B y → 表示将原空间的向量 By⃗  B y → 变换到A基下的向量。