最全面的homogeneous单应性坐标的定义，以及不同投影，仿射，相似，刚体变换矩阵的关系和自由度分析

学习的一些类容来源于： Photogrammetry - Homogeneous Coordinates.

本文主要分析了homogeneous坐标的定义，应用点。以及不同homogeneous变换的矩阵和自由度。包括了刚体变换，相似变换，仿射变换和射影变换（投影变换）。

1. Homogeneous Coordinate的定义

需要提前了解与掌握homogeneous coordinate的相关信息。homogeneous coordinate具有尺度不变性，主要是为了方便在描述同一直线上的时候，可以用一个尺度$\lambda$ 来表示一系列的点。

1. What is homogeneous coordinate?
   Given a coordinate of a point $X$, if :$$\lambda x=X,\lambda \ne 0.$$
   Then, we call this point is in the homogeneous coordinate.
   简明的说，就是在欧式坐标下，多加一个尺度因子，使用一个代表的点，就能够表明在这一条直线上的所有点。
   $$\begin{gathered} Euclidean:x_E=[x,y{]}^T \\ Homogeneous:x_H=[x,y,1{]}^T \end{gathered}$$

2. Why should we use homogeneous coordinates?
   A Euclidean coordinate can only represent one point, where as a homogeneous coordinate can represent one line.
   
   比如，在欧式坐标$E.C.$的一点$P_E$， $P_E=(1,2)$，那么，$P_E$在单应坐标$H.C.$中，表示为$P_E=(1,2,1)$。由于homogeneous coordinate的性质，以下的等式成立：
   $$\lambda \left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(1)}$$因此，$[1,2,1]$在homogeneous coord空间中，也表示$[3,6,3]$.欧式空间中的一点$[1,2]$可以在$H.C.$空间中表示无数个点，即，一条线。

2. 使用Homogeneous Coordinate的优点

1. Infinity has better representation in $H.C.$ than $E.C..$
    In 2D world, infinity representation in $E.C.$ is $P_{infinit{y}_E}=[\infty ,\infty {]}^T.$ In $H.C.$ is $P_{infinit{y}_H}=[1,2,0{]}^T.$
    In the $H.C.$ representation, if we normalize the coordinate using the last dimension, we get $P_{infinit{y}_H}=[\infty ,\infty ,0{]}^T.$ The first two dimensions match with the representation in $E.C.$
    Comparing with $P_{infinit{y}_E}$, clearly, $P_{infinit{y}_H}$ has a significant advantage that the $P_{infinit{y}_H}$ use its first two dimensions to indicate the direction of the infinity. Where as $P_{infinit{y}_E}$ only tell where the infinity is, but never shows the direction.

3. 相机投影的特点

camera projection， 投影变换（projective transformation）是最基础的变换，在homogeneous矩阵中，除了最后一个元素（2D情况下，为第9个元素；3D情况下，为第16个元素）不变，为尺度因子$\lambda$， 矩阵中的其他的所有元素，都是参数可变的。因此，投影变换矩阵的自由度（DOF）最多，为8（2D homogeneous矩阵）或者15（3D homogeneous矩阵）。投影变换，只具有保线性。其他的保角性，平行性，都不再保证。关于这一系列性质的证明，见我提供的证明文件：保角性的证明：https://download.csdn.net/download/qq_32998593/12335191

1. line preserving（保线性）
2. Not angle preserving （非保角性）
3. Not parallel preserving （非保平行性，平行线会交于某个点）
4. No depth, scale information （无深度，尺度信息）

4. $H.C.$在射影几何作用

Using $H.C.$ in projective geometry can make the math more easier.
相机投影是将3D世界中的点投影到2D的相机图像平面，在投影过程中，深度信息被丢失。因此，我们无法知道相机图像平面上目标的大小，但由于在单应性$H.C.$坐标中，具有尺度不变性，这使得我们能够利用$H.C.$来表示我们的图像的投影。
要想恢复深度，尺度信息，需要额外的3D信息，比如：

1. 多张图像，不同角度，位置拍摄的；
2. 相机的参数；
3. 已知的拍摄物体的大小。

5. Homogeneous Transformation的自由度分析

下面对3D坐标下的变换，进行简单的分析。并分别罗列出不同变换的自由度。

1. 刚体变换（Rigid Body Transformation）
   最简单的是刚体变换（rigid body transformation）。 包括了平移（translation），旋转（rotation）。因此，旋转包括$X,Y,Z$ 3轴的变换，以及三个方向的平移。因此，自由度，也就是参数的个数为6个。
   $$T=\lambda \left[\begin{array}{cc}{R}_{3\times 3}& t_{3\times 1}\\ 0_{1\times 3}& 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2)}$$
2. 相似性变换（Similarity Transformation）
   在刚体变换的基础上，加上了尺度因子$m$。在$3\times 3$的旋转矩阵上，乘上尺度因子。因此，自由度DOF为7。矩阵中右7个未知参数。
   $$S=\lambda \left[\begin{array}{cc}m{R}_{3\times 3}& t_{3\times 1}\\ 0_{1\times 3}& 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(3)}$$
3. 仿射变换（Affine Transformation）
   仿射变换具有平行性，即，变换前为平行的线段在仿射变换后，也为平行的。但角度也许会发生变化。在刚体变换的基础上，引入了3个尺度变换因子，3个剪切元素。因此，$3\times 3$的旋转矩阵不在保持正交性质。因此自由度DOF为9+3=12。
   $$A=\lambda \left[\begin{array}{cc}{N}_{3\times 3}& t_{3\times 1}\\ 0_{1\times 3}& 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4)}$$
4. 射影（投影）变换（Projective Transformation）
   平行线通过射影变换之后，不再保持平行。除了尺度归一化因子$\lambda$之外，其他所有的元素均为变量。因此，投影变换的自由度DOF为15。
   $$P=\lambda \left[\begin{array}{cc}{N}_{3\times 3}& t_{3\times 1}\\ a_{1\times 3}& 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(5)}$$
   其中，$a^T$对应于将平行线变为不平行。

6. 变换层次分析

下面是对不同变换之间的关系，进行分析。包括了几种不同的变换，以及他们之间的自由度DOF。包括2D和3D下的不同变换矩阵的自由度。其中，参数的个数也表示自由度。

Projective Transformation: 2D 8/ 3D 15 params

Affine Transformation: 2D 6/ 3D 12 params

Similarity Transformation: 2D 4/ 3D 7 params

Rigid body Transformation: 2D 3/ 3D 6 params

Translation: 2D 2/ 3D 3 params

Rotation: 2D 1/ 3D 3 params