电磁场和微波课组（一）电磁学复习总纲

1. 静电场

主要是电荷$q$，电场$E$，电势$\phi$的互求。

1.1. 电荷$q\to$电场$E$

1.1.1. 库仑定律

1.1.1.1. 电偶极子

注意在求解过程当中，充分运用电偶极子的$r\gg l$的条件

延长线
$$E_e=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2ql}{r^3}\hat{i}$$
中垂线
$$E_m=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{ql}{r^3}\hat{i}$$

1.1.1.2. 带电圆环中垂线

$$E=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0(r^2+R^2)}\cdot \cos \theta =\frac{Qz}{4\pi {\epsilon }_0(z^2+R^2{)}^{\frac{3}{2}}}\hat{k}$$

1.1.2. Gauss定理

$$\iint E\cdot \mathrm{d}S=\frac{q_{内}}{\epsilon }$$
Gauss定理舍弃了对空间位置关系的描述。所以如果要用这个式子简便地解决所需问题，那么就必须寻找问题的对称性。这种对称性将保证体系的“各向同性”，也就是说每一处微元面积对应的场强都相等，这样才能体现出Gauss定理的简便和价值。特别注意！

另外我发现了这个问题证明和场论Gauss公式的一致性。消掉的$4\pi$就对应二型面$\iint \frac{1}{(x^2+y^2+z^2)}$求解过程中在中间挖的球的面积。

这里没有太想明白以后看不明白也别抱怨自己

1.1.2.1. ($\ast$)球面

$$E=\frac{R^2\sigma }{r^2\epsilon }\hat{r}$$

1.1.2.2. 球体

$$E=\frac{\rho r}{3\epsilon }$$

1.1.2.3. 无限大带电平板

$$E=\frac{\sigma }{2\epsilon }$$

1.1.2.4. 无限长带电直线

$$E=\frac{\lambda }{2\pi \epsilon r}$$

1.1.3. 复杂带电体与不均匀带电体

积分和割补法（叠加原理）。

1.1.4. 借助电势计算电场

这几个公式都可以良好地逆用，实现$E\to q$（不重要）

1.2. 求电势$\phi$

1.2.1. $E\to \phi$：定义式

在逻辑关系上说，这个求电势是在前面的。由于场强具有独特的灵活性，所以优先使用。往往适用于规整的群体空间结构，涉及位置变化的场强求解。

利用Coulumb定律、Gauss定理求$E$，再求$\phi$
适用于对称性比较好的情形。

注意：

• 无限大带电体不能将无限远作为零电势。

应用：
求均匀球面产生的电势：

• $r<R$
  $$\phi ={\int }_r^{\infty }={\int }_r^{R}0\mathrm{d}r+{\int }_R^{\infty }\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\mathrm{d}r=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{0}R}$$

1.2.2. $q\to \phi$：决定式

$$\mathrm{d}u=\frac{\mathrm{d}q}{4\pi \epsilon r}$$

1.2.3. 常见模型

1.2.3.1. 无限长直导线

$$U={\int }_{\rho }^{{\rho }_0}E\mathrm{d}\rho =\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}\ln \frac{{\rho }_0}{\rho }$$
其中${\rho }_0$为零势能点到导线的距离。

1.2.3.2. 球面对外

$$E=\frac{R^2\sigma }{r^2{\epsilon }_0}\hat{r}$$
上面的$R$对应着面电荷积累效应，下面的$r$是距离平方的结果。

1.2.3.3. 半球面对圆心

利用叠加原理，直接对每一块使用决定式：
$$\iint \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\sigma \mathrm{d}S}{R},\mathrm{d}S=R^2\sin \theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi$$
所以有
$$\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\sigma R\cdot 2\pi =\frac{\sigma R}{2{\epsilon }_0}$$
这个结果和整个球面是一致的
$$\frac{\sigma R}{{\epsilon }_0}$$

1.3. $\phi \to q$

更多地通过$\phi \to E\to q$，但也不一定。

2. 导体和电介质

是以上定理的应用。使用好物理图像。

2.1. 导体

2.1.1. 静电平衡

静电平衡条件：带电量或电势已知，随后就可以使用唯一性定理求解。

• 内部场强为零
• 等势体

导体表面场强：
$$E=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}$$

这个式子是将前后两个相同的面叠加起来得到的结果，如果两个面的电荷分布不均匀，那么分别计算两个面再叠加。

多种场的作用使得电荷受力平衡，分布不再变化。

要和后来的动电磁的平衡加以区别。

2.1.2. 重要思想方法

将小面元看成无限大平面，并使用对应的方法

2.2. 电容C

都不考察微分形式

2.2.1. 球形电容

$$C=4\pi {\epsilon }_{0}R$$
这样的孤立电容是和无穷远处零势面组成的电容器的电容

2.2.2. 平行板电容

$$C=\frac{Q}{U}=\frac{Q}{\frac{Q}{S{\epsilon }_0}d}={\epsilon }_0\frac{S}{d}$$

2.3. 电极化

2.3.1. 电容的介电效应

电容器极板间充满电介质之后，电容增大为${\epsilon }_r{C}_0$

定性解释：电介质的极化使得电场线弱化或者截断，使得原有的电势差减弱。

2.3.2. 极化电荷与极化强度矢量

定义极化强度矢量：
$$P=\frac{\sum p}{\Delta V}\text{\hspace{1em}(1)}$$
由电偶极子的定义即$p=q\cdot l$，极化电荷可以推出为：
$${\sigma }_p=P\text{\hspace{1em}(2)}$$

另外极化强度矢量的单位和场强一致。同时我们发现在同性线性介质中，其与原场之间有一定的比例关系：
$$P=-{\chi }_e{\epsilon }_{0}E\text{\hspace{1em}(3)}$$

而极化场与原场方向相反
$$E_p=-\frac{{\sigma }_p}{{\epsilon }_0}=-{\chi }_{e}E\text{\hspace{1em}(4)}$$

• 复习期间不对标矢量逻辑作梳理
• 这说明场强和极化强度（电矩）之间差一个介电常数
• 这个公式的成立性来自于电介质的各向同性和线性性质。

代入叠加关系中可以得到：
$$E=\frac{1}{{\epsilon }_r}{E}_0\text{\hspace{1em}(5)}$$

这说明电极化的效应是楞次性的。

结合电容中的相对介电常数的关系得：
$${\epsilon }_r=1+{\chi }_e\text{\hspace{1em}(6)}$$

2.4. 电介质电场理论——D的Gauss定理和环路定理

对(2)式：

(也不能说是单个式子，这些式子的逻辑混乱，标矢量混杂)

两边积分可以得到
$$Q_p=-\underset{S}{\iint }P\cdot \mathrm{d}S$$

对电介质使用Gauss定理：
$$\iint E\mathrm{d}S=\frac{1}{{\epsilon }_0}(Q_0+Q_p)$$
移项并构造$D={\epsilon }_{0}E+P$
$$\iint D\cdot \mathrm{d}S=Q_0$$
在这里，其实是将极化电荷合并到左边了，所以右边的$Q_0$是（原本就有的）自由电荷

自由电荷和净电荷不同，净电荷要考虑抵消之后的结果

做复习题的时候，这个电位移矢量想起来但都不敢用；做笔记的时候，一定要清晰地说明一个定理的使用情形。

2.4.1. 重要公式链

$$D=\epsilon E={\epsilon }_0{\epsilon }_{r}E={\epsilon }_0(1+{\chi }_e)E={\epsilon }_r\sigma$$

3. 电路

3.1. 电流

3.1.1. 电流强度和电流密度

前者是一种带方向的特殊标量，后者是一个矢量。
$$I=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$$
$$|j|=\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}{S}_{\perp }}$$

1. 利用场论的语言，电流密度的通量就是电流强度。

2. 两者可以互求，电流强度和电流密度的关系可以类比电通量和场强的关系，前者舍弃了一些空间位置的描述。

3. 将这两个式子联合起来，可以得到电流连续性方程：
   $$\underset{S}{\iint }j\cdot \mathrm{d}S=-\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$$

4. 稳恒电流对应的就是进面和出面的电流一致（电流线闭合），所以如果在稳恒点流场当中取一个闭合面的话，那么
   $$\underset{S}{\iint }j\cdot \mathrm{d}S=0$$

3.1.2. 电流分布模型

3.1.2.1. 面电流

除以线长。
$$|j|=\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}{l}_{\perp }}$$

3.1.2.2. 体电流

除以面积
$$|j|=\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}{S}_{\perp }}$$

3.1.3. 电流密度决定式

$$j=nqv$$
$n$是单位体积平均载流子数，$q$是载流子电荷量。

3.2. 电阻和电导

$$R=\frac{1}{G}=\rho \frac{l}{S}=\frac{1}{\sigma }\frac{l}{S}$$
利用以上这个关系，我们可以得到：

3.3. 微分形式的欧姆定律

$$j=\gamma E$$
其中$\gamma$为电导率

3.4. 电动势

$$\mathcal{E}=\int K\cdot \mathrm{d}r$$

4. 稳恒磁场

4.1. 磁场和电流关系

由于基本量没有电势类似的量，所以计算集中在磁场和电流的计算上

4.1.1. 唯象的几个理论

4.1.1.1. 安培力

$$\mathrm{d}F=I\mathrm{d}\ell \times B$$
稳恒曲线电流的安培力：
$$F={\int }_a^{b}I\mathrm{d}l\times B=Iab\times B$$

4.1.1.2. 洛伦兹力

$$F=qv\times B$$

4.1.1.3. 霍尔效应

载流子的电性会影响霍尔电压
$$U_H=\frac{IB}{nqd}$$

4.1.2. ($\ast$)毕-萨定律

$$\mathrm{d}B=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I\mathrm{d}\ell \times \hat{r}}{r^2}$$

4.1.3. 毕萨定律推出的几个常用模型

4.1.3.1. 无限长直导线

这个也可以通过环路定理求
$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi a}$$

4.1.3.2. 载流圆线圈

$$B=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2r^3}$$

4.1.3.3. 螺线管/稳恒均匀柱面环形电流

可通过环路定理求。
$$B={\mu }_0{j}_{\sigma }\hat{k}={\mu }_{0}nI$$
其中$j_{\sigma }$为面电流密度

4.1.4. 磁力矩

等于电流元乘以磁场。
$$L=\int \mathrm{d}L=-IB\hat{i}\int \mathrm{d}S=-IBS\hat{i}$$
总力矩可以改写成为：
$$L=M\times B$$
注意力矩的方向是刚体转动角速度的方向。

其中
$$M=IS\hat{n}$$
定义为磁矩。其方向同电流成右手螺旋关系。符号与磁化强度矢量相同，不要钻牛角尖。

4.1.5. 安培环路定理

对稳恒非无穷小电流：
$$\oint B\cdot \mathrm{d}\ell ={\mu }_{0}I={\mu }_0\oint j\cdot \mathrm{d}S$$

• 线对称性：直线、圆柱
• 面对称性：平板

1. 这个定理告诉我们，磁感应强度和电流可以互求。
2. 这个定律结合磁场高斯定理所描述的无源性（和空间位置有关），可以共同反映毕萨定律的实质。
3. 由于舍弃了空间考虑，所以计算非常简明，但因此在使用之前必须要加上对于问题的对称性分析，这样有利于一次性求算出一批case的结果。
4. 其中的真空磁导率是由BS定律继承来的，所以${\mu }_0$为确定值不改变。但如果有介质的话，实际磁场强度变为原来的${\mu }_r$倍，亦即
   $$\oint B\cdot \mathrm{d}\ell =\mu \sum I$$

4.1.6. 由环路定理得到的几个新模型

4.1.6.1. 无限长柱形电流（略）

4.1.6.2. 无限大带电平面

$$|B|=\frac{1}{2}{\mu }_0{j}_m$$
其中$j_m$为面电流密度。

4.2. 磁介质

4.2.1. 磁化

• 抗磁性是通过类电磁感应实现的，表观效果和电极化类似。
• 顺磁性是分子磁矩趋同的结果，和电极化相反。

磁化过程对应着一种虚拟的磁化电流的变化

4.2.2. 磁化强度矢量

$$M=\sum \frac{m}{\Delta V}$$
其中$m$是分子磁矩。

1. 磁化面电流：
   $$j_{\sigma m}=M\times \hat{n}\text{\hspace{1em}(1)}$$
2. 和磁化电流的关系
   $$\oint M\mathrm{d}\ell =I_{m内}\text{\hspace{1em}(2)}$$

这条公式的直观理解是：

1. 框一个回路，这个回路中的净电流只在边界处出现（即回路中的的电流等同于边界的磁化强度矢量的积分）
2. 从量纲上可以理解这个问题$M$对应的是$A\cdot m^2/m^3=A/m$所以对长度积分就可以得到电流。

4.2.3. 磁介质的磁场理论

利用上一目中的(2)式，对安培环路定理进行变形
$$\oint B\cdot \mathrm{d}\ell ={\mu }_0\sum I_0+{\mu }_0\oint M\cdot \mathrm{d}\ell$$
$$\oint \left(\frac{1}{{\mu }_0}B-M\right)\mathrm{d}\ell =\sum I_0$$
同电位移矢量的简化思想；有介质的环路定理（H的环路定理）
$$\oint H\cdot \ell =I_0=j\cdot S$$
记：
$$M={\chi }_{m}H$$

$$H=\frac{1}{{\mu }_0(1+{\chi }_m)}B=\frac{1}{{\mu }_0{\mu }_r}B\triangleq \frac{B}{\mu }$$
有介质处，磁场增加为原来的${\mu }_r$倍。

另外，由磁化强度矢量和磁场强度的${\chi }_m$倍关系，可以导出
$$j_m=\nabla \times \left({\chi }_{m}H\right)={\chi }_m\left(\nabla \times H\right)={\chi }_{m}j$$

5. 变化的电磁场

5.1. 法拉第定律

动生感生的实质都是一样的。
$$\mathcal{E}=-\frac{\mathrm{d}\Phi }{\mathrm{d}t}$$
动生电动势分布在切割磁感线的导体上。
$$\mathcal{E}=\underset{L}{\int }(v\times B)\mathrm{d}\ell$$

5.2. 感生电动势和磁场变化

感生电动势分布于磁场中运动的导体上。
$$\underset{L}{\oint }{E}_v\cdot \mathrm{d}\ell =-\iint \left(\frac{\partial B}{\partial t}\right)\cdot \mathrm{d}S$$

5.3. 自感和互感

5.3.1. 自感系数与磁链

线圈磁通量中的磁场决定于线圈电流，自感磁通应和电流成正比。磁链定义为每匝线圈的磁通之和
那么总磁链
$$\psi =nl\Phi =nl\cdot \mu nI\cdot S$$
自感系数为：
$$L=\mu n^{2}lS=\mu n^{2}V$$

1. 当插入铁磁质时，会使得自感增大到原来的${\mu }_r$倍。
2. 这个V是我们后续推导磁场能量密度和磁场能的重要依据。

5.3.2. 互感系数

互感系数等于一个电路中所感生的磁通除以在另一个电路中产生该磁通的电流，即：二中产生的磁通是一中电感系数的匝数比倍。
$${\Psi }_{21}=N_2{\varphi }_1=\frac{N_2}{N_1}{L}_1{I}_1$$
$$M_{21}=\frac{N_2}{N_1}{L}_1$$

5.4. 暂态电路

$$i_C=C\frac{\mathrm{d}{u}_C}{\mathrm{d}t}$$
$$u_L=L\frac{\mathrm{d}{i}_L}{\mathrm{d}t}$$

5.5. 位移电流

5.5.1. 非恒定条件下的磁场环路定理

$$\oint H(t)\cdot \mathrm{d}\ell =\iint \left(j_0+\frac{\partial D}{\partial t}\right)\cdot \mathrm{d}S$$

右式是根据电位移Gauss定理直接和电荷相关“凑”出来的一个恒定量

5.5.2. 位移电流

$$j_D=\frac{\partial D}{\partial t}={\epsilon }_0\frac{\partial E}{\partial t}+\frac{\partial P}{\partial t}$$

5.5.3. 全电流连续方程

$$\underset{S}{\iint }\left(j_0+j_D\right)\cdot \mathrm{d}S=0$$

5.5.4. 电磁波

5.5.4.1. 波速

$${\nabla }^{2}E={\epsilon }_0{\epsilon }_r{\mu }_0{\mu }_r\frac{{\partial }^{2}E}{\partial t^2}$$
故
$$k^2={\epsilon }_0{\epsilon }_r{\mu }_0{\mu }_r{\omega }^2$$
从而可得波速
$$v=\frac{\lambda }{T}=\frac{\omega }{k}=\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_0{\epsilon }_r{\mu }_0{\mu }_r}}=\frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu }}$$

5.5.4.2. 特性阻抗

对涡旋电场式（法拉第电磁感应定律）
$$\nabla \times E=-\frac{\partial B}{\partial t}$$
加以变形；
$$\nabla \times E=-\mu \frac{\partial H}{\partial t}$$
结合波速中得到的结论，可得：
$$k\times E_0=\mu \omega H_0\text{\hspace{1em}(1)}$$
$$Z_T=\frac{E_0}{H_0}=\sqrt{\frac{{\mu }_0{\mu }_r}{{\epsilon }_0{\epsilon }_r}}=\sqrt{\frac{\mu }{\epsilon }}$$
另外由(1)式，可以得到$k,E,H$的右手螺旋性。

6. 电磁场中的能量问题

6.1. 电场能

对电场：
$$W=qU=\frac{q_1{q}_2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$$
利用多体静电能的组合法计算：
$$W=\frac{1}{2}\sum Q_i{U}_i$$
利用平行板电容器电容关系，静电能还可以写成：
$$W=\frac{1}{2}C{U}^2$$
结合：
$$\sigma ={\epsilon }_{0}E$$
可以定义单位体积中的能量密度：
$$w_e=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$$
利用介电效应的相对介电常数的公式，上式可以化成
$$\frac{1}{2}ED=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2+\frac{1}{2}{\epsilon }_0{\chi }_e{E}^2=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2+\frac{1}{2}|P|\cdot |E|$$

毕竟终态$E$小于原场，所以为了说明原来那个大能量，应该把较小的场强给一个扩增。

6.2. 磁场能

$$w_m=\frac{1}{2}BH=\frac{1}{2{\mu }_0}{B}^2-\frac{1}{2}B\cdot M$$
前一部分是纯磁场能，后一部分是感应磁能。

电感磁能
$$W_L=\frac{1}{2}L{I}^2=\frac{1}{2}\mu n^{2}V{\left(\frac{B}{\mu n}\right)}^2=\frac{B^2}{2\mu }V=\frac{1}{2}BHV$$

磁场能量密度和磁场能之间差一个体积：
$$\frac{1}{2}L{I}^2=\frac{1}{2}\underset{V}{\int }BH\mathrm{d}V$$

6.3. 电磁波输运

简单地，把上述两个加起来
$$S=wv=\frac{1}{2}\left(\epsilon E^2+\mu H^2\right)\cdot \frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu }}$$
结合特性阻抗关系得到
$$S=\frac{1}{2}\left(HE+EH\right)=EH$$
考虑方向写出坡印廷矢量：
$$S=E\times H$$